Bộ đề tuyển sinh vào 10 môn Toán hệ Chuyên các tỉnh 2025-2026 (Có lời giải)

 Bộ đề tuyển sinh vào 10 môn Toán hệ Chuyên các tỉnh 2025-2026 (Có lời giải) - De-Thi.com
 ĐÁP ÁN
Bài 1 (2 điểm)
1. Ta có
 + 5 2 1
P = ― :
 + ― 2 ― 1 + 2
 + 5 2
= ― ⋅ ( + 2)
 ( ― 1)( + 2) ― 1
 + 5 ― 2( + 2)
= ⋅ ( + 2)
 ( ― 1)( + 2)
 ― 2 + 1
=
 ― 1
 ( ― 1)2
=
 ― 1
= ― 1
2. Phương trình có hai nghiệm phân biệt khi và chỉ khi Δ′ = 1 ― 3 ―1 = ―3 > 0 hay m < 0
Theo định lý Viete, ta có
 1 + 2 = 2
 1 2 = 3 + 1
Khi đó
 3 3 3 3
 1 + 2 = ( 1 + 2) ― 3 1 2( 1 + 2) = 2 ― 3 ⋅ (3 + 1) ⋅ 2 = 8 ― 18 ― 6 = 2 ― 18 
Vì vậy
 3 3
 1 + 2 = 20
2 – 18m = 20
m = -1 (Thỏa mãn <0)
Vậy m = -1
Nhận xét: Đây là một câu hỏi dễ nhằm giúp học sinh đạt được mức điểm trên liệt, chỉ đòi hỏi kĩ năng cơ 
bản về biến đổi biểu thức chứa căn và áp dụng định lý Viete.
Bài 2 (2,0 điểm)
1. Biến đổi phương trình đầu, ta được
y(x + y) – 2(x + y) = 0
(x + y)(y – 2) = 0
x = -y hoặc y = 2
- Nếu x = -y, thay vào phương trình thứ hai, ta được
― 2 ― 3 = 1 hay 2 + 4 = 0.
Phương trình trên vô nghiệm vì 2 +4 > 0 với mọi y.
- Nếu y = 2, thay vào phương trình thứ hai, ta được
 2 + 4 ― 3 = + 3
 2 + 4 ― 5 + 2 ― + 3 = 0
 De-Thi.com Bộ đề tuyển sinh vào 10 môn Toán hệ Chuyên các tỉnh 2025-2026 (Có lời giải) - De-Thi.com
 4 ― ( + 3)
( ― 1)( + 5) + = 0
 2 + + 3
 ― 1
( ― 1)( + 5) ― = 0
 2 + + 3
( ―1) + 5 ― 1 = 0 (1)
 2 3
 1 1 3
Từ điều kiện x ≥ -3, ta suy ra +5 ― ≥ ―3 + 5 ― = > 0
 2 3 2 2
Vì vậy, từ (1), ta thu dược x = 1.
Thử lại ta thấy (x; y) = (1; 2) thỏa mãn hệ phương trình ban đầu. 
Vậy hệ phương trình có duy nhất nghiệm (x; y) = (1; 2)
2) Thay x = 1 vào
(x + 2)P(x + 1) = (x – 1)P(x + 2) (2)
ta dược 3P(2) = 0.P(3) = 0, kéo theo P(2) = 0. Thay x = -2 vào (2), ta được 0.P(-1) = -3.P(0)
dẫn đến P(0) = 0. Thay x = -1 vào (2), ta được P(0) = -2.P(1)
Hơn nữa P(0) = 0 nên P(1) = 0. Như vậy P(x) có 3 nghiệm ∈ {0;1;2}, mà P(x) là đa thức bậc ba nên 
P(x) có dạng
푃( ) = ( ―1)( ―2), ≠ 0. (3)
Thay x = 3 vào (3) và kết hợp với P(3) = 6, ta được 6 = 6a hay a = 1. Thử lại và ta nhận
푃( ) = ( ― 1)( ― 2) = 3 ― 3 2 + 2 
Nhận xét: Dây là một câu gồm 2 ý là hệ phương trình và đa thức. Nhìn chung đây là một câu khó, mang 
tính phân loại tốt.
- Ở ý 1), học sinh cần phát hiện được việc phân tích thành nhân tử ở vế trái của phương trình đầu tiên. Từ 
đó có thể tìm được x = -y và y = 2. Trường hợp y = 2 khó nhất, nhân lượng liên hợp là một hướng xử lí 
phù hợp, tuy nhiên học sinh sẽ gặp khó khăn khi giải quyết phương trình
 1
 + 5 ― = 0
 2 + + 3
Mấu chốt để xử lí đó chính là sử dụng điều kiện ≥ ―3 dể chứng tỏ vế trái lớn hơn 0, dẫn đến phương 
trình vô nghiệm.
- Ở ý 2), đây là một câu có thể nhiều học sinh sẽ bỏ qua nếu chưa có cơ hội tiếp xúc nhiều về đa thức. 
Mấu chốt của bài toán là thay những giá trị x phù hợp để có thể tìm ra nghiệm của P(x). Việc tìm ra 
nghiệm x = 2 và x = 0 khá đơn giản vì đã được gợi ý từ việc chứng minh P(2) = 0. Tuy nhiên để tìm dược 
nghiệm còn lại là x = 1 thì không dễ với nhiều học sinh, điều này thu được thông qua P(0) = 0, vì vậy chỉ 
cần chọn x phù hợp để một vế xuất hiện P(0). Khi đã có đủ 3 nghiệm và giả thiết P(3) = 6, học sinh có thể 
sử dụng định lý Bezout để xác định dạng của P(x) (xem (3)) hoặc có thể giải một hệ 4 ẩn gồm 4 phương 
trình, rõ ràng cách sử dụng định lý Bezout đơn giản và thể hiện rõ các tính chất về nghiệm của đa thức.
Bài 3 (2 điểm)
1) 
- Nếu trong 37 số nguyên dương này có đủ các số dư từ 0 đến 6 khi chia cho 7, ta chọn 7 số có số dư khi 
chia cho 7 lần lượt từ 0 đến 6, khi đó tổng của 7 số này chia hết cho 7.
- Nếu trong 37 số nguyên dương này có không quá 6 số dư khác nhau, vì 37 – 6. 6 + 1 nên theo nguyên 
 De-Thi.com Bộ đề tuyển sinh vào 10 môn Toán hệ Chuyên các tỉnh 2025-2026 (Có lời giải) - De-Thi.com
lý Dirichlet, tồn tại ít nhất 7 số có cùng số dư khi chia cho 7. Chọn 7 số này và khi đó tổng của chúng chia 
hết cho 7.
2) 
- Nếu p = 5, vì (6 +43 ) ― ( +8 ) = 5 +35 ⋮5 nên 6 +43 ≡ +8 (mod 5). Vì vậy a + 8b và 
6a + 43b hoặc cùng chia hết cho p hoặc cùng không chia hết cho p.
- Nếu ≠ 5, giả sử tồn tại hai số nguyên dương a, b sao cho a + 8b và 6a + 43b dều chia hết cho p. Vì 6
 +43 = 6( +8 ) ― 5 ⋮ , mà +8 ⋮ nên 5 ⋮ . Hơn nữa gcd(p, 5) = 1 nên ⋮ . Kết hợp với +8 ⋮
 , ta suy ra ⋮ . Như vậy, nếu +8 và 6 +43 dều chia hết cho thì và đều chia hết cho.
Chọn b = 1 và a = 5p – 8 > 0, ta có +8 = 5 ―8 + 8 = 5 ⋮ , theo nhận xét trên thì 1 và 5p - 8 đều 
chia hết cho p, vô lý.
Vậy chỉ có duy nhất số nguyên tố p = 5 cần tìm.
Nhận xét: Đây là một câu hỏi gồm hai ý là tổ hợp và số học, là hai phân môn mà nhiều học sinh “sợ” và 
dễ bỏ trắng nhất.
- Ở ý 1), đây là một câu hỏi sử dụng nguyên lý Dirichlet để giải quyết. Nhận thấy rằng trường hợp “đẹp 
nhất" khi chọn 7 số đó là 7 số này nhận đầy đủ số dư từ 0 đến 6 hoặc cả 7 số đều có cùng số dư (khi chia 
cho 7). Ngoài ra, 37 = 5. 7 + 2, vì vậy việc chứng tỏ luôn có 7 số có cùng số dư không khả thi; tuy nhiên, 
ta hoàn toàn có thể làm "yếu đi" một chút bằng cách loại đi trường hợp đầu tiên là 7 số nhận đầy đủ số dư 
từ 0 đến 6; khi đó trong 37 số chỉ nhận không quá 6 số dư khác nhau, mà 37 = 6. 6 + 1, dến đây nguyên lý 
Dirichlet sẽ giúp ta xử lý phần còn lại.
- Ở ý 2), đây là một câu hỏi lạ và mới, nhiều học sinh sẽ rất hoang mang khi đọc được ý “a + 8b và 6a + 43b 
hoặc cùng chia hết cho p hoặc cùng không chia hết cho p”. Việc đầu tiên cần là giả sử trường hợp “tốt nhất” 
xảy ra, đó là cả hai số đều chia hết cho p. Lập luận để “thu gọn” phép chia hết, ta dễ dàng thu dược 5 ⋮ , từ 
dây ta dược 5⋮ hoặc ⋮ . Trường hợp p = 5 thỏa mãn và rất dễ dàng kiểm tra. Trong khi đó với trường hợp 
 ⋮ , ta sẽ suy ra được ⋮ . Vì vậy ta có dược một nhận xét quan trọng rằng nếu a + 8b và 6a + 43b dều chia 
hết cho p thì , ⋮ . Từ dây ta thấy rằng chỉ cần chỉ ra được một cặp (a; b) sao cho a hoặc b không chia hết 
cho p và +8 ⋮ , ta sẽ loại dược ngay trường hợp này. Ở đây ta chỉ ra một cách chọn đơn giản nhất là với b 
= 1, khi đó a + 8b = a + 8, ta chỉ cần chọn a = 5p - 8 (mục đích chọn 5p để a dương).
Bài 4 (0,75 điểm)
1. Ta có
 3 + 3 ― 2 ― 2 = ( + )( 2 ― + 2) ― ( + ) = ( + )( 2 ― 2 + 2)
= ( + )( ― )2. (4)
Vì ( ― )2 ≥ 0 và a + b > 0 (do a, b dương) nên ( + )( ― )2 ≥ 0. Từ (4), ta được
 3 + 3 ≥ 2 + 2
2. Áp dụng ý 1), ta có
2( 3 + 3 + 3) +3 = ( 3 + 3) + ( 3 + 3) + ( 3 + 3) +3 
≥ ( 2 + 2) + ( 2 + 2) + ( 2 + 2) + 3 
= ( 2 + 2 + ) + ( 2 + 2 + ) + ( 2 + 2 + )
= ( + + ) + ( + + ) + ( + + )
= ( + + )( + + ) (5)
 De-Thi.com Bộ đề tuyển sinh vào 10 môn Toán hệ Chuyên các tỉnh 2025-2026 (Có lời giải) - De-Thi.com
Ta có ( + + )2 ≥ 3( + + ) ≥ 9, do đó + + ≥ 3. Từ (5), ta thu dược
2( 3 + 3 + 3) + 3 ≥ 3.3 = 9
Nhận xét: Đây là một cách bắt đẳng thức tương đối vừa phải, không quá khó nhưng ý 2) cũng thực sự 
thử thách với nhiều học sinh. Biểu thức 2( 3 + 3 + 3) cho ta nghĩ tới việc tách thành
( 3 + 3) + ( 3 + 3) + ( 3 + 3)
Từ đây áp dụng ý 1) và tiến hành phân tích thành nhân tử biểu thức vừa đánh giá, ta sẽ thấy dược ngay 
phần việc còn lại (rất đơn giản để xử lí). Một khó khăn trong bước này là rất nhiều học sinh không đoán 
được việc đi phân tích thành nhân tử mà lại cứ tiếp tục đi đánh giá, làm cho bài toán trở nên rối rắm hơn. 
Một số đẳng thức liên quan:
 2 + 2 + 2 + 2 + 2 + 2 +3 = ( + + )( + + ).
 2 + 2 + 2 + 2 + 2 + 2 +2 = ( + )( + )( + ).
 3 + 3 + 3 ―3 = ( + + )( 2 + 2 + 2 ― ― ― ).
Bài 5. (3,0 điểm)
1)
Trước tiên, ta chứng minh AIMJ là hình bình hành. Ta có M là trung diểm của BC, J là trung điểm của AC 
nên MJ là dường trung bình của tam giác ABC. Suy ra 
 MJ // AB (6)
Ta có M là trung điểm của BC, I là trung điểm của AB nên MI là đường trung bình của tam giác ABC. Suy ra 
 MI // AC (7)
Từ (6) và (7), ta kết luận AIMJ là hình bình hành. Tiếp theo, ta chứng minh B, D, C thẳng hàng. Vì D nằm 
trên (I; IA) (đường tròn đường kính AB) và D nằm trên (J, JA) (dường tròn đường kính AC) nên = 90∘ 
và = 90∘. Suy ra + = 90∘ + 90∘ = 180∘, kéo theo B, D, C thẳng hàng.
2)
 De-Thi.com Bộ đề tuyển sinh vào 10 môn Toán hệ Chuyên các tỉnh 2025-2026 (Có lời giải) - De-Thi.com
Ta chứng minh ADMK nội tiếp đường tròn. Từ (6), ta có MJ // AB. Hơn nữa ⊥ 푃 (AP là tiếp tuyến 
tại A của (I; IA)) nên 퐽 ⊥ 푃. Kết hợp điều trên với JA = JP, ta suy ra MJ là đường trung trực của AP. 
Từ đây suy ra 퐾 ⊥ 푃 hay 퐾 = 90∘. Xét tứ giác ADMK, ta có + 퐾 = 90∘ + 90∘ = 180∘.
Suy ra ADMK nội tiếp.
Gọi H là giao điểm của MI và AQ. Chứng minh tương tự như trên, ta có MH là dường trung trực của AQ 
và AHMK nội tiếp. Kết hợp với ADMK nội tiếp, ta suy ra A, H, D, M, K cùng nằm trên một dường tròn.
Ta chứng minh 푃 푄 + 푃 푄 = 180∘. Ta có H là trung điểm của AQ (MH là đường trung trực của AQ), D 
là trung điểm của AE nên HD là đường trung bình của tam giác AEQ. Suy ra HD // QE, từ đó thu được 
푄 = (hai góc ở vị trí đồng vị).
Ta có K là trung điểm của AP (MK là đường trung trực của AP), D là trung điểm của AE nên KD là đường 
trung bình của tam giác AEP. Suy ra KD // PE, dẫn đến 푃 = 퐾 (hai góc ở vị trí dồng vị).
Ta có 푃 푄 = 푃 + 푄 = 퐾 + = 퐾. (8)
Hơn nữa 퐾 + 푃 푄 = 퐾 + 퐾 = 180∘ (do A, H, D, K cùng nằm trên cùng một đường tròn) (9)
Từ (8) và (9), ta suy ra 푃 푄 + 푃 푄 = 180∘.
3)
Ta cần chứng minh
 푃 푆푃
 =
 푄 푆푄
Ta có
푄 = 푄 = 푄 (do AQBD nội tiếp) (10)
Và
푃 = 푃 = 푃 (do 푃 nội tiếp). (do APCD nội tiếp) (11)
Xét tam giác ABQ vuông tại Q và tam giác ACP vuông tại P, ta có 푄 = 푃 (cùng phụ ). Suy ra 
△ 푄 ∽△ 푃, dẫn đến
푄 = 푃 (12)
Từ (10), (11) và (12), ta suy ra 푄 = 푃 , kéo theo DT là tia phân giác trong của 푄 푃, vì vậy
 푃 푃
 = (13)
 푄 푄
Ta có 푆 ⊥ nên DS là tia phân giác ngoài của 푄 푃, suy ra
 푆푃 푃
 = (14)
 푆푄 푄
 De-Thi.com Bộ đề tuyển sinh vào 10 môn Toán hệ Chuyên các tỉnh 2025-2026 (Có lời giải) - De-Thi.com
 푃 푆푃
Từ (13) và (14), ta kết luận 푄 = 푆푄 hay TP.SQ = TQ.SP
Nhận xét:
i. Ở câu đầu tiên, ta chứng minh tứ giác AIMJ là hình bình hành bằng cách chứng minh hai cặp cạnh đối 
song song. Ý tưởng này xuất phát từ việc giả thiết cho 3 trung diểm của 3 cạnh tam giác. Giả thiết đó sẽ 
cho ta các đường trung bình của tam giác và ta suy ra dược các dường song song (và các doạn thẳng có 
dộ dài bằng nhau). Tiếp theo, ta chứng minh B, D, C thẳng hàng bằng cách chúng minh là góc bẹt. 
Mấu chốt là sử dụng giả thiết D cùng nằm trên trên hai đường tròn có đường kính là AD và AC để suy ra 
các góc vuông. Ngoài ra, ta có thể chứng minh B, D, C thẳng hàng thông qua điểm phụ. Gọi D’ là giao 
điểm thứ hai của BD và (I; IA). Khi đó, ta chỉ cần chứng minh D’ cũng thuộc (J; JA) (bằng cách chứng 
minh ′ = 90∘).
ii. Ở câu thứ hai, do đã có sẵn = 90∘ nên ta chỉ cần chứng minh thêm 퐾 = 90∘. Để chứng minh 
 퐾 = 90∘, chỉ cần chứng minh 퐽 ⊥ 푃 bằng cách dựa vào tính song song của đường trung bình MJ 
trong tam giác ABC. Sau khi chứng minh dược 퐽 ⊥ 푃, ta có thể suy ra MJ là trung trực của MP để 
chuẩn bị câu tiếp theo.
iii. Tiếp theo ta cần chứng minh một đẳng thức về góc. Ta cần biến đổi 푃 푄. Với giả thiết D là trung 
điểm AE, ta kết hợp thêm K là trung điểm AP, ta có thể chứng minh EP // DK. Đây là một bước chứng 
minh quan trọng để biến đổi góc 푃 푄. Ta có thể suy nghĩ tương tự về EQ, do đó, ta cần gọi thêm H là 
giao điểm của MI và AQ dể chứng minh EQ // DH. Lúc này ta có EQ // DE, EP / DK nên ta có thể biến 
đổi 푃 푄 = 퐾.
 푃 푆푃
iv. Câu cuối cùng ta cần chứng minh 푄 = 푆푄. Do các điểm T, P, S, Q thẳng hàng nên ta nghĩ đến mô hình 
phân giác trong - phân giác ngoài. Ta có thể dùng thước đo góc để thử nghiệm và dự doán DT là phân 
giác trong 푃 푄.
v. Một số tính chất khai thác thêm cho bài toán: 푆 tiếp xúc với đường tròn đường kính AM; Tiếp tuyến 
tại A, E của (APQ) cùng đi qua S; AD và tiếp tuyến tại H, K của (ADM) dồng quy.
vi. Ta có thể nhìn nhận câu cuối cùng dưới góc nhìn mô hình "tứ giác diều hòa": Cho tam giác ABC nội 
 퐹 
tiếp (O). Hai tiếp tuyến tại B và C cắt nhau tại . AD cắt lại (O) tại E, cắt BC tại F. Chứng minh rằng 
 퐹 
 . Để chứng minh bài toán này, ta cần xây dựng các dường phân giác như sau: Gọi M là trung điểm 
= 
BC, chứng minh OMEA nội tiếp, rồi suy ra MF là phân giác .
 De-Thi.com Bộ đề tuyển sinh vào 10 môn Toán hệ Chuyên các tỉnh 2025-2026 (Có lời giải) - De-Thi.com
 ĐỀ SỐ 6
 KỲ THI TUYỂN SINH VÀO LỚP 10 CHUYÊN
 SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO GIA LAI
 NĂM HỌC: 2025-2026
 TRƯỜNG THPT CHUYÊN HÙNG VƯƠNG
 Môn: Toán
 ĐỀ CHÍNH THỨC
 Thời gian: 150 phút (không kể thời gian giao đề)
Câu 1: (2,0 điểm)
Cho biểu thức 푃 = 1 ― 4 : 1 ― 4 , với a ≥ 0
 4 1 4 4
a) Rút gọn biểu thức P.
b) Tính giá trị biểu thức P với = 27 ⋅ 4 + 2 3 ― 1 ⋅ 4 ― 2 3 + 1.
Câu 2: (2,0 điểm)
 2( + 1)( + + 1) = 11 2 ― 12 + 1
a) Giải hệ phương trình + = 2 ― 1
b) Xếp ngẫu nhiên 2 học sinh nam và 3 học sinh nữ thành một hàng dọc. Tính xác suất để học sinh nam 
và học sinh nữ đứng xen kẽ nhau.
Câu 3: (2,0 điểm)
a) Bác An ở vị trí A trên hòn đảo cách bờ biển một khoảng AH = 2 
km, nhà bác An ờ vị trí B trên bờ biển cách H một khoảng 3 km 
(hình vẽ bên). Bác An chèo xuồng từ A đển C với vận tốc 푣1
= 3km/h (C nằm giữa H và B) và đi bộ đến B với vận tốc 푣2
= 4km/h. Tính độ dài BC biết thời gian chèo xuồng gấp đôi thời 
gian đi bộ.
b) Từ một tấm tôn hình tròn có bán kính R = 15cm, người ta làm 
một hình nón bằng cách cắt một phần của hình tròn dạng hình 
 1
quạt có diện tích bằng diện tích hình tròn. Tính thể tích của hình 
 3
nón tạo thành (như hình bên).
Câu 4: (3,0 điểm)
Cho nửa đường tròn (O) đường kính AB. Lấy điểm C trên đường tròn (O) sao cho AC > BC. Kẻ CH vuông 
góc với AB (H thuộc AB), HE vuông góc với AC (E thuộc AC) và HF vuông góc với BC (F thuộc BC).
a) Chứng minh CEHF là hình chữ nhật và OC vuông góc với EF.
b) Đường thẳng EF cắt đường tròn (O) tại M và N (E nằm giữa M và F). Chứng minh 2 = . .
c) Gọi D là giao điểm của MN và AB, K là giao điểm cùa CD và đường tròn (O) (K khác C). Chứng minh 
tam giác EFK là tam giác vuông.
Câu 5: (1,0 điểm) Cho các số thực dương a, b, c thỏa mãn a + b + c = 3. Chứng minh rằng:
 1 1 1 4 + 1 4 + 1 4 + 1
 + + ≥ + + .
 2 2 2 2 2 2
 ---hết---
 De-Thi.com Bộ đề tuyển sinh vào 10 môn Toán hệ Chuyên các tỉnh 2025-2026 (Có lời giải) - De-Thi.com
 ĐÁP ÁN
Câu 1: (2,0 điểm)
a) Rút gọn biểu thức P.
 ≥ 0
Điều kiện xác định: ≠ 4.
Ta có:
 4 1 4 ― 4 + 4 1 4 
P = 1 ― : ― = : ―
 + 4 + 1 + 4 + + 4 + 4 + 1 ( + 1)( + 4)
 ― 4 + 4 ― 4 + 4 ― 4 + 4 ( + 1)( + 4)
= : = ⋅ = + 1
 + 4 ( + 1)( + 4) + 4 ― 4 + 4
 ≥ 0
Vậy 푃 = +1 với ≠ 4.
b) Tính giá trị biểu thức 푃 với = 27 ⋅ 4 + 2 3 ― 1 ⋅ 4 ― 2 3 + 1.
Ta có:
 = 27 ⋅ 4 + 2 3 ― 1 ⋅ 4 ― 2 3 + 1 = 27 ⋅ ( 3 + 1)2 ― 1 ⋅ ( 3 ― 1)2 + 1
= 27 ⋅ 3 + 1 ― 1 ⋅ 3 ― 1 + 1 = 3 3 ⋅ 3 ⋅ 3 = 3 3 ⋅ 3 = 9
Với a = 9 thỏa mãn điều kiện xác định, thay vài biểu thức P ta được: 푃 = 9 +1 = 4
Vậy P = 4
Câu 2: (2,0 điểm)
 2( + 1)( + + 1) = 11 2 ― 12 + 1
a) Giải hệ phương trình + = 2 ― 1
 2 2
HPT tương đương: ( + ) + + = 11 ― 12 + 1 (1)
 = 2 ― ― 1 (2)
Thay (2) vào (1) ta được:
( 2 ― 1)(2 2 ― 1) = ( ― 1)(11 ― 1)
⇔( ― 1)( + 1)(2 2 ― 1) = ( ― 1)(11 ― 1)
⇔( ― 1) ( + 1)(2 2 ― 1) ― (11 ― 1) = 0
⇔( ― 1)(2 3 + 2 2 ― 12 ) = 0
⇔( ― 1).2 ( 2 + ― 6) = 0
 = ―3
 = 0
⇔( ― 1). .( ― 2).( + 3) = 0⇔ = 1
 = 2
Với x = 0 thay vào phương trình (2) ta được 0 = ―1 (Vô lý)
 11
Với x = -3 thay vào phương trình (2) ta được .
 ―3 = 11⇔ = ― 3
 De-Thi.com Bộ đề tuyển sinh vào 10 môn Toán hệ Chuyên các tỉnh 2025-2026 (Có lời giải) - De-Thi.com
Với x = 1 thay vào phương trình (2) ta được y = -1
 1
Với x = 2 thay vào phương trình (2) ta được .
 2 = 1⇔ = 2
Vậy hệ phương trình đã cho có ba nghiệm phân biệt ( ; ) ∈ ―3; ― 11 ,(1; ― 1), 2; 1 .
 3 2
b) Xếp ngẫu nhiên 2 học sinh nam và 3 học sinh nữ thành một hàng dọc. Tính xác suất để học sinh nam 
và học sinh nữ đứng xen kẽ nhau.
* Cách 1: (Dùng Hoán Vị - Lớp 9 chưa được dùng)
Số phần tử không gian mẫu chính là số cách xếp 5 học sinh thành hàng dọc là hoán vị của 5 phần tử
Suy ra: 푛(Ω) = 5! = 120
Gọi A là biến cố: "Học sinh nam và học sinh nữ đứng xen kẽ"
Đầu tiên xếp hai học sinh nam có 2! = 2.1 = 2 cách xếp.
Khi đó hai bạn nam sẽ tạo thành ba khe
Ta xếp 3 bạn nữ vào ba khe trên có 3! = 3.2.1 = 6 cách xếp.
Suy ra: n(A) = 2.6 = 12
 푛( ) 12 1
Vậy xác suất của biến cố là .
 푃( ) = 푛(Ω) = 120 = 10
* Cách 2: (Đếm chân phương theo toán cấp 2)
Số phần tử không gian mẫu là cách xếp ngẫu nhiên 5 học sinh thành hàng dọc
Xếp học sinh thứ nhất có 5 cách xếp.
Xếp học sinh thứ hai có 4 cách xếp.
Xếp học sinh thứ ba có 3 cách xếp.
Xếp học sinh thứ tư có 2 cách xếp.
Xếp học sinh thứ năm có 1 cách xếp.
Suy ra: n(Ω) = 5.4.3.2.1 = 120
Gọi A là biến cố: "Học sinh nam và học sinh nữ đứng xen kẽ"
Để nam và nữ đứng xem kẽ thì thứ tự đứng phải có dạng: NỮ - NAM - NỮ - NAM - NỮ
Xếp bạn nữ thứ nhất vào chỗ ngồi có 3 cách
Xếp bạn nữ thứ hai vào chỗ ngồi có 2 cách
Xếp bạn nữ thứ ba vào chỗ ngồi có 1 cách
Xếp bạn nam thứ nhất vào chỗ ngồi có 2 cách
Xếp bạn nam thứ hai vào chỗ ngồi có 1 cách
Suy ra: n(A) = 3.2.1.2.1 = 12 
 푛( ) 12 1
Vậy xác suất của biến cố A là .
 푃( ) = 푛(Ω) = 120 = 10
Câu 3: (2,0 điểm)
a) Ta đặt BC = x, điều kiện 0 < x < 3
Khi đó: HC = 3 - x nên = 2 + 2 = 4 + (3 ― )2 = 2 ― 6 + 13
 2
Thời gian chèo xuồng là: 6 13(ℎ)
 3
Thời gian đi bộ là: 4(ℎ)
 De-Thi.com Bộ đề tuyển sinh vào 10 môn Toán hệ Chuyên các tỉnh 2025-2026 (Có lời giải) - De-Thi.com
 2 
Do thời gian chèo xuồng gấp đôi thời gian đi bộ nên ta có phương trình: 6 13 = 2. =
 3 4 2
⇔2 2 ― 6 + 13 = 3 
⇒4 2 ― 24 + 52 = 9 2
 ―12 + 2 101
 = ( )
⇔5 2 + 24 ― 52 = 0⇔ 5
 ―12 ― 2 101
 = < 0(퐿)
 5
Vậy = 12 2 101(km).
 5
b) Ta gọi h, r, l lần lượt là đường cao, bán kính đáy và đường sinh của hình nón.
Ta có đường sinh hình nón l = OA = 15cm
 1
Do người ta làm một hình nón bằng cách cắt một phần của hình tròn dạng hình quạt có diện tích bằng 
 3
 1
diện tích hình tròn nên góc ∘. Khi đó độ dài cung nhỏ AB bằng chu vi đáy của hình tròn. Mà 
 = 120 3
 1
độ dài cung nhỏ AB lại chính là chu vi đáy của hình nón nên ta có: r = 5cm
 3.2 .15 = 2 
Chiều cao của hình nón bằng: ℎ = 푙2 ― 2 = 152 ― 52 = 10 2cm
 1 1
Thể tích của khối nón là: = 2ℎ = ⋅ 52 ⋅ 10 2 = 250 2(cm3).
 3 3 3
Câu 4: (3,0 điểm)
a) Chứng minh CEHF là hình chữ nhật (Học sinh tự làm).
Chứng minh OC vuông góc với EF
Gọi P và Q lần lượt là giao điểm của EF với CH và OC
Dễ dàng chỉ ra tứ giác CEHF nội tiếp đường tròn tâm P đường kính CH.
Từ đó suy ra 퐹 = 퐹 (góc nội tiếp cùng chắn cung CF)
 De-Thi.com