Bộ đề tuyển sinh vào 10 chuyên Hải Phòng môn Toán (Có lời giải)

 Bộ đề tuyển sinh vào 10 chuyên Hải Phòng môn Toán (Có lời giải) - De-Thi.com
 = 1
⇔ = 2.
Vậy hệ phương trình đã cho có hai nghiệm (1;4),(2;1) (TMĐKXĐ)
Bài 3.
a) 1,0 điểm)
Ta có // (tính chất đường trung bình) mà ⊥ ⇒ ⊥ .
⇒ là đường trung trực của đoạn thẳng (Åpcm).
b) (1,0 điểm)
 퐹 퐹 
△ 퐹 ′′ ∼△ 퐹 푆 (g.g) = ⇒퐹 .퐹 = 퐹 .퐹푆(1).
 퐹 퐹 S
퐹 là tiếp tuyến của đường tròn tâm A bán kính ⇒퐹 퐹푆 = 퐹 2 (2)
Từ (1) và (2) suy ra 퐹 .퐹 = 퐹 2
 2
Gọi E′ là giao điểm của 퐹 với ( )⇒퐹 ′.퐹 = 퐹 ⇒Δ퐹 ′ ′′ ∼ Δ퐹 Λ( . . )
⇒퐹 ′ = 퐹 = 90∘⇒ ′ ⊥ 퐹. Mà ′ ⊥ 퐹
⇒ ′; ; là ba điểm thẳng hàng ⇒ ≡ 퐹( đpcm )
c) (1,0 điểm)
Gọi I là điểm đối xứng với H qua E . Ta có 퐹 là đường trung trực của đoạn thẳng nên 
퐹 = 퐹 và = , nghĩa là I thuộc đường tròn tâm A bán kính .
△ 퐹 =△ 퐹 (c.c.c)⇒ 퐹 = 퐹 = 90∘⇒퐹 tiếp xúc với đường tròn tâm A bán kính 
 tại (3)
 1
Có ′′ ′′
 △ ∼△ ( . )⇒ = ⇒ . = . = 2 .2 = . △ 
∼△ ( c.g.c )⇒ = ⇒ Tứ giác nội tiếp.
Lại có: 퐹 2 = 퐹 .퐹 (cùng bằng 퐹 2)⇒퐹 tiếp xúc với đường tròn ( ) tại I . Kết hợp 
với (3) suy ra đpcm.
Bài 4.
 3 2 2 
Áp dụng bất đẳng thức Côsi .
 2 2 = ― 2 2 ≥ ― 2xz = ― 2
 De-Thi.com Bộ đề tuyển sinh vào 10 chuyên Hải Phòng môn Toán (Có lời giải) - De-Thi.com
 3 2 2 4
Tương tự 2 2 ≥ ― 2. Suy ra 푃 ≥ + ― + .
 2 2 4
Theo gt = ⇒푃 ≥ + + ≥ 4.
Vậy 푃min = 4⇔ = = = 1.
Bài 5.
a) 1,0 điểm)
 2푞 + ⋮ 2 + 푞⇒푞 2 + 푞 ― 2푞 + = 푞2 ― ⋮ 2 + 푞
 푞2 + 푞⋮푞2 ― ⇒ 푞2 + 푞 ― 푞2 ― = 2 + 푞⋮푞2 ― 
푞2 ― = ― 2 + 푞 ⇔푞2 + 푞 + 2 ― = 0 ( )
푞2 ― = 2 + 푞⇔(푞 + )(푞 ― ― 1) = 0⇔푞 ― ― 1 = 0⇔푞 = + 1
Mà p, q là hai số nguyên tố nên = 2,푞 = 3 (thỏa mãn bài toán)
b) 1,0 điểm)
 1 1 1 1 1 1 1
Đặt = ⇒ = + + ⇒ +1 = + 1 + 1
 1 
Với mỗi tập các số dương { 1; 2; 푛} tùy ý, xét biểu thức:
 1 1 1
푃( 1; 2; 푛) = + 1 + 1 + 1 .
 1 2 푛
Từ (1) suy ra mỗi lần xóa đi 2 số bất kì ; rồi viết lên bảng số 1 các số còn lại trên 
bảng giữ nguyên thì giá trị biểu thức P của các số trên bảng không đổi.
 1 1 1 1 1
Gọi số cuối cùng là ⇒푃( ) = 푃 ; ; ; ; ;
 1 2 3 2018 2019
 1 1 1 1 1
⇒ +1 = + 1 ⋅ 1 + 1 ⋅ 1 + 1 ⋅ 1 + 1 = 2020! 
 1
 2 2018 2019
 1
⇒ = 2020! 1.
 De-Thi.com Bộ đề tuyển sinh vào 10 chuyên Hải Phòng môn Toán (Có lời giải) - De-Thi.com
 ĐỀ SỐ 7
 SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO ĐỀ THI TUYỂN SINH VÀO LỚP 10 THPT
 HẢI PHÒNG NĂM HỌC 2018 - 2019
 Môn thi: Toán (Chuyên)
 Thời gian: 150 phút (không kể thời gian giao đề)
Bài I. (2 điểm)
 x 1 1 1 
a) Cho biểu thức: P : với x 0;x 4. 
 4 x 2 x x 2 x 
 1
Rút gọn P. Tìm giá trị của x để P . 
 7
b) Cho phương trình x2 6x 6m m2 0 (1) với m là tham số. Tìm giá trị của m để 
 2
phương trình (1) có hai nghiệm x1;x2 thỏa mãn x1 6x1 x2. 
Bài II. (2 điểm)
a) Giải phương trình: 3x 2 x 1 2x2 x 6. 
 2 2
 y xy 2x 6(x y)
b) Giải hệ phương trình: 
 (4x 1)2 3(4y 21)
Bài III. (3 điểm)
Cho đường tròn (O) và một điểm A tùy ý nằm ngoài đường tròn. Từ A kẻ các tiếp tiếp AB; 
AC tới đường tròn (O) (B;C là tiếp điểm). Đường thẳng AO cắt đường tròn (O) tại hai điểm 
D; E (D nằm giữa A và E). Gọi H là giao điểm của BC và AO.
a) Chứng minh D là tâm đường tròn nội tiếp tam giác ABC.
b) Trên cung nhỏ CD của đường tròn (O) lấy điểm F tùy ý (F C;D). Từ điểm A kẻ đường 
thẳng vuông góc với EF lần lượt cắt FC; FE tại M; N. 
 AB BD NF BD 2
Chứng minh ; . 
 AE BE NE BE 2
c) MB cắt đường tròn (O) tại P (P B). Chứng minh NH song song với PD.
Bài IV. (1 điểm)
Cho ba số dương a;b;c thỏa mãn abc 2. 
Chứng minh a3 b3 c3 a b c b a c c a b. 
Bài V. (2 điểm)
 2 2 2
a) Với mỗi số nguyên dương n kí hiệu Sn 1 2 ... n . Chứng minh 24(2n 3)Sn 1 là 
số chính phương.
 De-Thi.com Bộ đề tuyển sinh vào 10 chuyên Hải Phòng môn Toán (Có lời giải) - De-Thi.com
b) Đặt tùy ý 2018 tấm bìa hình vuông cạnh bằng 1 nằm trong một hình vuông lớn có cạnh 
bằng 131. Chứng minh bên trong hình vuông lớn, ta luôn đặt được một hình tròn có bán kính 
bằng 1 sao cho hình tròn trên không có điểm chung với bất cứ tấm bìa hình vuông nào.
 ---------HẾT---------
 De-Thi.com Bộ đề tuyển sinh vào 10 chuyên Hải Phòng môn Toán (Có lời giải) - De-Thi.com
 ĐÁP ÁN
Bài I. (2 điểm)
 1
a) Rút gọn và tìm để 
 푃 푃 > 7
Với > 0; ≠ 4 :
Biến đổi biểu thức trong ngoặc:
 1 1 1 1 
2 + 2 = (2 ) + (2 ) = (2 )
Khi đó:
 1 1 1 (2 ) 
푃 = 4 : (2 ) = (2 )(2 ) ⋅ 1 = 2 
 1
Tìm để :
 푃 > 7
 1 1 1
2 > 7⇔7 > 2 + ⇔6 > 2⇔ > 3⇔ > 9
 1
Kết hợp điều kiện: và .
 > 9 ≠ 4
 2
b) Tìm để phương trình có hai nghiệm 1, 2 thỏa mãn 1 = 6 1 + 2
Phương trình: 2 +6 +6 ― 2 = 0 (1)
Để phương trình có nghiệm: Δ′ = 9 ― (6 ― 2) = 2 ―6 +9 = ( ―3)2 ≥ 0 với mọi 
 .
 2
Theo hệ thức Vi-ét: 1 + 2 = ―6 (2) và 1 2 = 6 ― .
Từ (2) suy ra 2 = ―6 ― 1. Thay vào điều kiện đề bài:
 2 2
 1 = 6 1 + ( ―6 ― 1)⇔ 1 ― 5 1 + 6 = 0⇔ 1 = 2 hoặc 1 = 3. 
+ Với 1 = 2⇒ 2 = ―8. 
 2 2
Khi đó 1 2 = ―16⇒6 ― = ―16⇔ ―6 ―16 = 0⇒ = 8 hoặc = ―2.
+ Với 1 = 3⇒ 2 = ―9. 
 2 2
Khi đó 1 2 = ―27⇒6 ― = ―27⇔ ―6 ―27 = 0⇒ = 9 hoặc = ―3.
Bài II. (2 điểm)
a) Giải phương trình: 3 ― 2 ― + 1 = 2 2 + ―6
 2
ĐКХĐ: .
 ≥ 3
Nhận xét = 2 là nghiệm. Ta dùng phương pháp liên hợp:
( 3 ― 2 ― 2) ― ( + 1 ― 3) = ( ― 2)(2 + 3)
 3( ― 2) ― 2
 ― ― ( ― 2)(2 + 3) = 0
 3 ― 2 + 2 + 1 + 3
 3 1
( ― 2) ― ― (2 + 3) = 0
 3 ― 2 + 2 + 1 + 3
 De-Thi.com Bộ đề tuyển sinh vào 10 chuyên Hải Phòng môn Toán (Có lời giải) - De-Thi.com
 2
Với , biểu thức trong ngoặc luôn âm. Vậy nghiệm duy nhất là .
 ≥ 3 = 2
b) Giải hệ phương trình:
 2 ― ― 2 2 = 6( + )
(4 + 1)2 = 3(4 ― 21) 
Tự (1): ( + )( ―2 ) = 6( + )⇔( + )( ―2 ―6) = 0.
+ TH1: = ― . Thay vào (2): (4 +1)2 = 3( ― 4 ―21)⇔16 2 +8 +1 = ―12 
―63⇔16 2 +20 +64 = 0 (Vô nghiệm vì Δ < 0 ).
+ TH2: = 2 +6. 
Thay vào (2): (4 +1)2 = 3(4(2 +6) ― 21) = 3(8 +3) = 24 +9
⇔16 2 + 8 + 1 = 24 + 9⇔16 2 ― 16 ― 8 = 0⇔2 2 ― 2 ― 1 = 0
Giải ra 1± 3. Từ đó tìm được tương ứng qua .
 = 2 = 2 +6
Bài III. (3 điểm)
a) Chứng minh D là tâm đường tròn nội tiếp △ 
Vì , là tiếp tuyến nên là tia phân giác ∠ . 
Mà △ cân tại nên ⊥ tại .
Trong đường tròn ( ),∠ là góc tạo bởi tiếp tuyến và dây cung, ∠ là góc nội tiếp 
cùng chắn cung . Ta có ∠ = ∠ .
Mặt khác, cung = cung (do ⊥ ), nên ∠ = ∠ . nằm trên phân giác 
góc . Chứng minh tương tự là phân giác góc . Vậy là tâm đường tròn nội tiếp.
b) Chứng minh các hệ thức hình học
Hệ thức dựa trên tính chất (góc chung, cùng 
 = △ ∼△ ∠ = ∠ 
chắn cung ).
Hệ thức thứ hai sử dụng tính chất cát tuyến và các cặp tam giác đồng dạng từ các đường 
vuông góc đã kẻ.
c) Chứng minh ‖푃 (HS tự giải)
Bài IV. (1 điểm)
1. Sử dụng bất đẳng thức AM-GM (Cauchy) để xử lý vế phải:
Ta có: + = 2( + ). Áp dụng AM-GM cho hai số dương 2 và ( + ) :
 2 ( )
 2 
 ( + ) ≤ 2
Tương tự cho các số hạng còn lại:
 2 ( ) 2 ( )
 + ≤ 2 ; + ≤ 2
Cộng vế theo vế, ta được:
 2 2 2 2( ) 2 2 2
 푃 ≤ 2 = 2 +( + + )
2. Sử dụng AM-GM để đưa về bậc 3:
 De-Thi.com Bộ đề tuyển sinh vào 10 chuyên Hải Phòng môn Toán (Có lời giải) - De-Thi.com
 3
- Theo AM-GM: 3 3 2 2 2 1. Tương tự cho 2 2.
 + +1 ≥ 3 ⇒ ≤ 3 , 
 3
- Theo AM-GM: 3 2. Tương tự cho .
 +1 + 1 ≥ 3 ⇒ ≤ 3 , 
Thay vào biểu thức ở bước 1 , ta cần chứng minh vế trái 3 + 3 + 3 lớn hơn tổng các đánh 
giá này. Tuy nhiên, cách làm này hơi lỏng. Cách tối ưu hơn là dùng điều kiện = 2 :
 3
3. Sử dụng 3 3 , và 3 3 3 2 2 2 (đây là đánh giá cơ 
 + ≥ ( + ) + + ≥ 2( + + )
bản khi không quá lớn). Với bài toán cụ thể này, việc chứng minh 3 + 3 + 3 ≥ 
 + + + + + thường dựa trên việc chứng minh 3 + ≥ 2 .
 2 2
Bài V. (2 điểm)
a) Chứng minh 24(2푛 +3)푆푛 +1 là số chính phương
 푛(푛 1)(2푛 1)
Biết 2 2 2 .
 푆푛 = 1 + 2 +⋯ + 푛 = 6
Thay công thức 푆푛 vào biểu thức:
 푛(푛 1)(2푛 1)
 = 24(2푛 +3) ⋅ 6 +1
 = 4푛(푛 + 1)(2푛 + 1)(2푛 + 3) + 1
 = 4(푛2 + 푛)(4푛2 + 8푛 + 3) + 1
Đặt = 4푛2 +4푛, ta có 4푛2 +8푛 +3 = (4푛2 + 4푛) +4푛 +3 = +4푛 +3. Cách này hơi 
phức tạp, hãy thử cách nhóm khác:
 = [2푛(2푛 + 3)].[2(푛 +1)(2푛 +1)] + 1 
 = (4푛2 + 6푛)(4푛2 + 6푛 + 2) + 1
Đặt = 4푛2 +6푛, ta có:
 = ( + 2) + 1 = 2 + 2 + 1 = ( + 1)2
Vì 푛 là số nguyên dương nên +1 là số nguyên. Vậy là số chính phương.
b) 
- Xét tâm của hình tròn: Để hình tròn bán kính 푅 = 1 nằm hoàn toàn trong hình vuông lớn 
cạnh 퐿 = 131, tâm của nó phải nằm trong hình vuông con (gọi là 퐾 ) có cạnh 퐿′ = 131 ― 2푅
= 131 ― 2 = 129.
 2
+ Diện tích hình vuông 퐾 : 푆퐾 = 129 = 16641.
- Xét điều kiện hình tròn không giao với hình vuông đơn vị: Để hình tròn bán kính 1 không 
có điểm chung với một hình vuông cạnh 1, tâm của hình tròn không được nằm trong vùng 
"ảnh hưởng" của hình vuông đó.
+ Vùng ảnh hưởng của một hình vuông cạnh 1 đối với tâm hình tròn bán kính 1 là một hình 
 2
vuông đã được bo tròn các góc. Diện tích tối đa của vùng này là: 푆vùng = (1 + 2) ―(4 ― 
) = 9 ― 4 + = 5 + (hoặc tính xấp xỉ bằng cách coi nó nằm trong hình vuông cạnh 
1 + 1 + 1 = 3 ).
 De-Thi.com Bộ đề tuyển sinh vào 10 chuyên Hải Phòng môn Toán (Có lời giải) - De-Thi.com
Diện tích vùng bị "chiếm chỗ" bởi 2018 hình vuông là:
 푆푡ồng = 2018 × (5 + ) ≈ 2018 × 8.14 ≈ 16426.52.
Ta thấy 푆푡ồng ≈ 16426.52 < 푆퐾 = 16641.
Vì tổng diện tích các vùng bị cấm nhỏ hơn diện tích vùng đặt tâm, nên luôn tồn tại ít nhất 
một điểm trong 퐾 không thuộc bất kỳ vùng cấm nào. Chọn điểm đó làm tâm, ta có hình tròn 
thỏa mãn yêu cầu.
 De-Thi.com Bộ đề tuyển sinh vào 10 chuyên Hải Phòng môn Toán (Có lời giải) - De-Thi.com
 ĐỀ SỐ 8
 SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO ĐỀ THI TUYỂN SINH VÀO LỚP 10 THPT
 HẢI PHÒNG NĂM HỌC 2017 - 2018
 Môn thi: Toán (Chuyên)
 Thời gian: 150 phút (không kể thời gian giao đề)
Bài 1. (2.0 điểm)
 1 2
a) Cho biểu thức 푄 = ― . ― 1 (với > 0; ≠ 1),
 1 1 1 
1. Rút gọn biểu thức 푄.
2. Tìm các giá trị của để 푄 = ―1.
b) Cho phương trình 2 ―2( ―1) ―2017 2 ―1 = 0. Tìm để phương trình có hai 
nghiệm phân biệt 1 < 2 thỏa mãn | 1| ― | 2| = 2018.
Bài 2. (2.0 điểm)
a) Giải phương trình + 1 ― ― 7 = 12 ― .
 3 + 2 ― 10 = 0
b) Giải hệ phương trình 2 + 6 2 = 10 .
Bài 3. (3.0 điểm)
Cho tam giác nhọn nội tiếp đường tròn ( ),푌 trên cạnh ,푍 trên cạnh sao cho 푍푌
> 90∘. Gọi là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác 푌푍,푆 là giao điểm khác của và 
đường tròn ( ).
a) Chứng minh rằng 푆 = 푍푌 ― 90∘.
b) Gọi là giao điểm của 푌푍 và , là giao điểm khác 푌 của các đường tròn ngoại tiếp 
tam giác 푌푍 và 푌. Chứng minh rằng nằm trên đường tròn ( ).
c) Gọi 퐽,퐾 là tâm các đường tròn ngoại tiếp tam giác 푍 và 푌, là giao điểm của và 
 퐽. Chứng minh rằng 6 điểm , , , ,퐽,퐾 cùng nằm trên một đường tròn.
Bài 4. (1.0 điểm)
Cho các số dương , , , chứng minh rằng
 4 4 4
 3( 2 ) + 3( 2 ) + 3( 2 ) ≥ 1 
Bài 5. (2.0 điểm)
a) Chứng minh rằng không tồn tại các số tự nhiên , , thỏa mãn 16 + 16 +2017 = 16. 
b) A và B chơi một trò chơi, A chơi trước. Ban đầu có 푛 viên sỏi. Trong mỗi lượt chơi của 
minh, người chơi sẽ lấy ra 4,5 hoặc 7 viên sỏi. Quá trình đó tiếp tục như vậy. Ai đến lượt 
chơi của mình mà không thể lấy thêm sỏi là thua cuộc. Biết cả hai đều là người chơi thông 
minh, chứng minh rằng nếu 푛 có dạng 11 + 푙 với ,푙 ∈ ℕ,0 ≤ 푙 ≤ 3 thì B thắng cuộc.
 ---------HẾT---------
 De-Thi.com Bộ đề tuyển sinh vào 10 chuyên Hải Phòng môn Toán (Có lời giải) - De-Thi.com
 ĐÁP ÁN
Bài 1. (2.0 điểm)
a) Rút gọn 푄 và tìm để 푄 = ―1
Với > 0; ≠ 1:
1. Rút gọn:
 1 2 1 1
- Ngoặc thứ nhất: 1 2
 1 ― ( 1)( 1) = 1 = ( 1)( 1) = 1
 ( 1) 1 1 1
- Ngoặc thứ hai: 
 1 ― (1 ) = ― = 
 1 ( 1)( 1) 1
Vậy 
 푄 = 1 ⋅ = 
2. Tìm để 푄 = ―1:
 1 1 1
 = ―1⇒ ―1 = ― ⇒2 = 1⇒ = 2⇒ = 4(TMĐK)
b) Tìm thỏa mãn | 1| ― | 2| = 2018
Phương trình: 2 ―2( ―1) ―2017 2 ―1 = 0.
Ta thấy . = 1.( ―2017 2 ― 1) = ― (2017 2 + 1) < 0 với mọi .
Do đó phương trình luôn có hai nghiệm trái dấu 1 < 0 < 2.
Vì 1 0⇒| 2| = 2.
Điều kiện bài toán trở thành: ― 1 ― 2 = 2018⇔ ― ( 1 + 2) = 2018.
Theo Vi-ét: 1 + 2 = 2( ―1).
⇒ ― 2( ― 1) = 2018⇒ ― 1 = ―1009⇒ = ―1008
Bài 2. (2.0 điểm)
a) Giải phương trinh: + 1 ― ― 7 = 12 ― 
ĐКХĐ: 7 ≤ ≤ 12.
Bình phương hai vế:
( + 1) + ( ― 7) ― 2 ( + 1)( ― 7) = 12 ― 
2 ― 6 ― 2 2 ― 6 ― 7 = 12 ― ⇔3 ― 18 = 2 2 ― 6 ― 7
Tiếp tục bình phương (với ĐK 3 ―18 ≥ 0⇒ ≥ 6 ):
9( ― 6)2 = 4( 2 ― 6 ― 7)⇔9 2 ― 108 + 324 = 4 2 ― 24 ― 28
5 2 ― 84 + 352 = 0
Giải phương trình bậc hai ta được = 8 (TM) hoặc = 8.8 (TM). 
Vậy tập nghiệm 푆 = {8;8.8}.
b) Giải hệ phương trình:
 3 + 2 ― 10 = 0
 2 + 6 2 = 10
 De-Thi.com