Tuyển tập 49 đề thi học sinh giỏi Toán Lớp 8 (Có đáp án)

 Tuyển tập 49 đề thi học sinh giỏi Toỏn Lớp 8 (Cú đỏp ỏn) - De-Thi.com
 ĐỀ SỐ 5
PHềNG GIÁO DỤC NGHI LỘC ĐỀ KHẢO SÁT HỌC SINH GIỎI
 TRƯỜNG THCS PHÚC THỌ NĂM HỌC 2023-2024
 MễN: TOÁN 8
 (Thời gian làm bài 120 phỳt)
Bài 1 (4,0 điểm)
 632 472
1) Tớnh giỏ trị biểu thức A 
 2152 1052
2) Tớnh giỏ trị của biểu thức B x6 50x5 50x4 50x3 50x2 50x 50 tại x = 49
Bài 2 (4,0 điểm)
1) Phõn tớch đa thức sau thành nhõn tử x3 2x2 x xy2 
2) Tỡm số tự nhiờn n để n2 2n 20 là số chớnh phương.
Bài 3 (5,0 điểm)
1) Cho cỏc số thực a, b, c thoả món abc = 1. 
 a b c
Chứng minh rằng: 1 
 ab a 1 bc b 1 ca c 1
2) Cho a, b, c là cỏc số nguyờn thoả món a b 2024c c3 . Chứng minh rằng: a3 b3 c3 chia 
hết cho 6
3) Tỡm tất cả cỏc cặp số nguyờn (x, y) thoả món x2 xy 2022x 2023y 2024 0 
Bài 4 (6,0 điểm)
1) Cho hỡnh vuụng ABCD trờn cỏc cạnh AB, BC, CD, DA lần lượt lấy cỏc điểm M, N, P, Q 
sao cho AM = BN = CP = DQ.
a) Chứng minh MNPQ hỡnh vuụng.
b) Tỡm vị trớ của M, N, P, Q để diện tớch tứ giỏc MNPQ đạt giỏ trị nhỏ nhất.
2. Cho tam giỏc ABC (AB <AC), M là trung điểm của BC. Một đường thẳng qua
M và song song với phõn giỏc của gúc BAC cắt AC, AB lần lượt tại E, F.
Chứng minh CE = BF
Bài 5 (1,0 điểm): Cho cỏc số nguyờn dương a và b thoả món S a2 b2 ab 3 a b 2023 
chia hết cho 5. Tỡm số dư khi chia a - b cho 5
 ---------HẾT---------
 De-Thi.com Tuyển tập 49 đề thi học sinh giỏi Toỏn Lớp 8 (Cú đỏp ỏn) - De-Thi.com
 ĐÁP ÁN
 Bài Nội dung Điểm
 632 472 63 47 63 47 
 1) A 
 2152 1052 215 105 215 105 1,0
Bài 1 16.110 1 1,0
(4,0 đ) 110.320 20
 2) Ta cú x = 49 nờn x + 1 = 50 thay vào biểu thức B, ta được 0,5
 B x6 x 1 x5 x 1 x4 x 1 x3 x 1 x2 x 1 x x 1 0,5
 x6 x6 x5 x5 x4 x4 x3 x3 x2 x2 x x 1 0,5
 1 0,5
 1) x3 2x2 x xy2 x x2 2x 1 y2 0,5
 0,5
 2 2 
 x x 2x 1 y 
 x x 1 2 y2 
 0,5
 x x 1 y x 1 y 
 x x y 1 x y 1 0,5
 2 2
Bài 2 2) Đặt p n 2n 20 0,25
(4,0 đ) p2 n 1 2 19 0,25
 p2 n 1 2 19 
 0,25
 p n 1 p n 1 19
 0,25
 Do p, n là cỏc số tự nhiờn nờn (p - n - 1) < (p + n + 1)
 p n 1 1
 Khi đú 0,25
 p n 1 19 0,25
 Suy ra n = 8 (TM) 0,5
 a b c abc b cb
 1) 0,5
 ab a 1 bc b 1 ca c 1 abbc abc bc bc b 1 cab cb b
 1 b bc
 0,5
 bc b 1 bc b 1 bc b 1
 1 b bc
 1 (đpcm) 0,5
Bài 3 bc b 1
 3
(5,0 đ) 2) Ta cú a b 2024c c
 a b c c3 c 2022c 0,5
 a b c c c 1 c 1 2022c
 Ta cú c c 1 c 1 6 ; 2022c6 nờn a b c 6 
 0,5
 Xột (a3 b3 c3 ) (a b c) a3 a b3 b c3 c 
 De-Thi.com Tuyển tập 49 đề thi học sinh giỏi Toỏn Lớp 8 (Cú đỏp ỏn) - De-Thi.com
 a a 1 a 1 b b 1 b 1 c c 1 c 1 0,25
 Ta cú a a 1 a 1 6 ; b b 1 b 1 6 ; c c 1 c 1 6
 Nờn a3 b3 c3 ) (a b c chia hết cho 6
 0,25
 Mà a b c 6 (cm trờn)
 Vậy a3 b3 c3 6 (đpcm)
 3) x2 xy 2022x 2023y 2024 0 0,5
 x2 xy x 2023x 2023y 2023 1 0
 x2 xy x 2023x 2023y 2023 1
 0,5
 x x y 1 2023 x y 1 1
 x y 1 x 2023 1
 x y 1 1 x 2024
 Trường hợp 1: 0,5
 x 2023 1 y 2024
 x y 1 1 x 2022
 Trường hợp 2: 
 x 2023 1 y 2020 0,5
 Vậy cặp số (x, y) là (2024, 2024); (-2022, -2020)
 1) 
 0,5
Bài 4 a) Chứng minh được MNPQ là hỡnh vuụng 2,0
 AM.AQ 0,5
(6,0 đ) b) S nhỏ nhất khi và chỉ khi S lớn nhất, mà S 
 MNPQ AMQ AMQ 2
 2
 AM MB AB2
 Ta cú AM.AQ AM.MB 
 4 4 0,5
 AB2
 S lớn nhất là , đạt được khi AM = MB
 AMQ 8
 Vậy SMNPQ nhỏ nhất khi và chỉ khi M, N, P, Q lần lượt là trung điểm
 AB, BC, CD, DA. 0,5
 2)
 De-Thi.com Tuyển tập 49 đề thi học sinh giỏi Toỏn Lớp 8 (Cú đỏp ỏn) - De-Thi.com
 0,5
 0,25
 Gọi AD là phõn giỏc của gúc BAC 0,25
 BA BD BF BA
 Ta cú: AD // FM nờn (1) 
 BF BM BM BD
 CE CM CE CA
 ME // AD nờn (2) 0,5
 CA CD CM CD
 BA BD BA CA
 Do AD là phõn giỏc nờn ta cú: (3) 
 CA CD BD CD
 BF CE 0,5
 Từ (1), (2), (3) suy ra , mà BM = CM nờn BF = CE (đpcm)
 BM CM
 Ta cú S a2 b2 ab 3 a b 2023 chia hết cho 5 nờn ta được:
 4a2 4b2 4ab 12 a b 4.3 4.2020 chia hết cho 5 0,25
 4a2 4b2 4ab 12 a b 12 chia hết cho 5
 2a b 3 2 3 b 1 2 chia hết cho 5
 Đặt x = 2a + b + 3, y = b + 1 thỡ ta được x2 3y2 5 0,25
Bài 5 + Nếu y2 chia hết cho 5, khi đú x2 cũng phải chia hết cho 5. Từ đú ta cú:
(1,0 đ) 2
 2a b 3 5 2a b 3 5 2a b 3 5
 2a 2b 5 
 2 b 1 5 3 b 1 5 0,25
 b 1 5 
 Suy ra 2(a - b) 5 . Vậy số dư khi chia a - b cho 5 là 0
 2 2
 + Nếu y chia 5 dư 1, thỡ x chia 5 phải dư 2. Vụ lớ 0,25
 + Nếu y2 chia 5 dư 4, thỡ x2 chia 5 phải dư 3. Vụ lớ
 Kết luận: Vậy số dư khi chia a - b cho 5 là 0
 De-Thi.com Tuyển tập 49 đề thi học sinh giỏi Toỏn Lớp 8 (Cú đỏp ỏn) - De-Thi.com
 ĐỀ SỐ 6
PHềNG GD&ĐT QUỲNH LƯU KỲ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI OLYMPIC
 NĂM HỌC 2022 - 2023
 ĐỀ CHÍNH THỨC
 Mụn: TOÁN - LỚP 8
 (Đề thi gồm cú 01 trang) Thời gian thi: 120 phỳt (Khụng kể thời gian giao đề)
Cõu 1: (3,0 điểm)
 1 2
a. Tỡm cỏc cặp số nguyờn (x; y) thỏa món 
 x + y = 3
b. Cho a, b, c là cỏc số nguyờn thỏa món a + b +2024c = c3.
Chứng minh rằng a3 + b3 + c3 chia hết cho 6
Cõu 2: (4,5 điểm)
a. Giải phương trỡnh (x + 1)3 + (x + 2)3 = (2x + 3)3
b. Cho cỏc số thực a, b, c thỏa món abc =1. Chứng minh rằng:
 a b c
 + + = 1
 ab + a + 1 bc + b + 1 ca + c + 1
Cõu 3: (4,5 điểm)
a. Biết rằng đa thức P(x) chia cho x -1 dư 2, P(x) chia cho x2 + 1 dư 3x + 4. 
Tỡm đa thức dư trong phộp chia P(x) cho (x -1)(x2+1).
b. Cho cỏc số thực a,b,c thỏa món: 0 ≤ a,b,c ≤ 2 và a + b + c = 3.
Tỡm giỏ trị nhỏ nhất, giỏ trị lớn nhất của biểu thức P = a2 + b2 + c2.
Cõu 4: (7,0 điểm)
Cho tam giỏc ABC nhọn (AB < AC). Đường cao AD, BE, CF cắt nhau tại H. Gọi K là giao 
điểm của đường thẳng EF và đường thẳng BC. AD cắt EF tại I. 
Chứng minh rằng:
a. Tam giỏc BDF đồng dạng với tam giỏc BAC.
b. AH.BE.CF + BH.AD.CF + CH.AD.BE = 2.AD.BE.CF.
 1 1 2
c. .
 KE + KF = KI
Cõu 5: (1.0 điểm)
Cho đa giỏc lồi 66 cạnh. Tại mỗi đỉnh của đa giỏc viết một số tự nhiờn nhỏ hơn 2023. Chứng 
minh rằng tồn tại hai đường chộo của đa giỏc sao cho hiệu hai số viết ở hai đầu mỗi đường 
chộo bằng nhau.
 ---------HẾT---------
 De-Thi.com Tuyển tập 49 đề thi học sinh giỏi Toỏn Lớp 8 (Cú đỏp ỏn) - De-Thi.com
 ĐÁP ÁN
 TT í Nội dung Điểm
 1 2 0.25
 + = 3⇒2x + y = 3xy
 x y
 ⇔x(2 ― 3y) + y = 0 0.25
 ⇔3x(2 ― 3y) + 3y = 0
 a. ⇔3x(2 ― 3y) ― (2 ― 3y) = ―2 0.25
 2.0 đ ⇔(3x ― 1)(2 ― 3y) = ―2 0.25
 Chia ra 4 trường hợp, mỗi TH giải đỳng
 3x ― 1 = ―2 3x ― 1 = ―1 3x ― 1 = 1 0.25x4
Cõu 1 2 ― 3y = 1 , 2 ― 3y = 2 , 2 ― 3y = ―2,
 3x ― 1 = 2
 2 ― 3y = ―1
 Nghiệm của phương trỡnh là x =1, y =1.
 3 3 3
 Ta cú, a + b + c 0.25
 3 3 3 3
 b. = a + b + c + c ― a ― b ― 2024c 0.25
 1.0 đ = (a3 ― a) + (b3 ― b) + 2(c3 ― c) ― 2022c
 = ( ― 1)( + 1) + ( ― 1)( + 1) + 2 ( ― 1)( + 1) ― 20220.5 ⋮6
 (x + 1)3 + (x + 2)3 = (2x + 3)3
 ⇔(x + 1)3 + (x + 2)3 ― (2x + 3)3 = 0 0.25
 a.
 ⇔3(x + 1)(x + 2)(2x + 3) = 0 1.5
 2.5 đ
 3 0.25x3
 x = ―1, x = ―2, x = ―
 2
Cõu 2 a b c
 + +
 ab + a + 1 bc + b + 1 ca + c + 1 1.0
 b. abc b bc
 = + +
 2.0 đ ab.bc + a.bc + bc bc + b + 1 ca.b + b.c + b 0.5
 1 b bc
 = + + = 1
 b + 1 + bc bc + b + 1 1 + bc + b 0.5
 Gọi đa thức thương là Q(x), 0.5
 đa thức dư là ax2 + bx +c
 Ta cú: P(x) =(x -1)(x2 + 1).Q(x) + ax2 + bx + c 0.5
 a. =(x -1)(x2+1).Q(x) + a(x2+1) +bx + c – a
Cõu 3
 2.5 đ Vỡ P(x) chia cho x -1 dư 2 nờn ta cú, P(1)=2 0.5
 ⇒a + b + c = 2
 Vỡ P(x) chia cho x2+1 dư 3x + 4 nờn 0.5
 0.5
 De-Thi.com Tuyển tập 49 đề thi học sinh giỏi Toỏn Lớp 8 (Cú đỏp ỏn) - De-Thi.com
 = 3
 ― = 4
 5 3
 Suy ra 
 = 2 , = 3, = 2
 5 3
 Vậy đa thức dư là x2 + 3x
 ― 2 + 2
 • Ta cú a2 +1 ≥ 2a 0.25
 b2 + 1 ≥ 2b
 c2 + 1 ≥ 2c
 ⇒a2 + b2 + c2 + 3 ≥ 2(a + b + c) 0.25
 ⇒a2 + b2 + c2 ≥ 3. 0.25
 Dấu"=" xảy ra khi a = b = c=1
 Vậy Min P = 3 khi a = b = c = 1 0.25
 b. • Ta cú P = (a + b + c)2 ―2(ab + bc + ca)
 0.25
 2.0 đ = 9 ― 2(ab + bc + ca)
 (a ― 2)(b ― 2)(c ― 2) ≤ 0
 Vỡ 0 ≤ a,b,c ≤ 2 nờn ―abc ≤ 0 0.25
 abc + 4(a + b + c) ― 2(ab + bc + ca) ― 8 ≤ 0
 ―abc ≤ 0
 ⇒ab + bc + ca ≥ 2⇒P ≤ 5. 0.25
 Dấu đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi trong 3 số a,b,c cú một số 
 bằng 2, một số bằng 0, một số bằng 1
 Vậy Max P = 5 khi (a,b,c) là hoỏn vị của bộ số (0,1,2) 0.25
 A
 E
 I
 F
 H
 K B D C
Cõu 4 ∆BDA ∽ ∆BFC (g.g) 1.0
 a. BD BF
 ⇒ =
 3.0 đ BA BC 1.0
 ⇒∆BDF ∽ ∆BAC (c.g.c) 1.0
 AH SABH SACH SABH + SACH SABH + SACH 1.0
 = = = =
 b. AD SABD SACD SABD + SACD SABC
 3.0 đ BH SABH + SBCH 0.5
 =
 BE SABC
 De-Thi.com Tuyển tập 49 đề thi học sinh giỏi Toỏn Lớp 8 (Cú đỏp ỏn) - De-Thi.com
 CH SBCH + SACH 0.5
 =
 CF SABC
 AH BH CH 2SABC 0.5
 ⇒ + + = = 2
 AD BE CF SABC
 ⇒AH.BE.CF + BH.AD.CF + CH.AD.BE = 2.AD.BE.CF 0.5
 ∆BDF ∽ ∆BAC ⇒BDF = BAC 0.25
 Tương tự: 
 ∆CDE ∽ ∆CAB ⇒CDE = CAB
 ⇒BDF = CDE⇒FDA = EDA 0.25
 Xột tam giỏc DEF cú DI là phõn giỏc trong, DI vuụng gúc với 
 c. KF IF DF
 DK nờn DK là phõn giỏc ngoài tại D. Suy ra = =
 1.0 đ KE IE DE 0.25
 IE IF
 ⇒ =
 KE KF
 KI KI KE IE KF IF
 Mặt khỏc: + = + = 2
 KE KF KE KF 0.25
 1 1 2
 ⇒ + =
 KE KF KI
 Số đường chộo của đa giỏc là 66.(66 – 3) :2 = 2079 0.25
 Hiệu hai số ở hai đầu mỗi đường chộo cú giỏ trị nhỏ nhất là 0 
 (hai số ở hai đầu bằng nhau), cú giỏ trị lớn nhất là 2022 0.5
Cõu 5 1.0 đ
 (vỡ 2022 - 0 = 2022). 
 Cú 2023 hiệu, cú 2079 đường chộo nờn tồn tại hai đường chộo 0.25
 cú hiệu hai số ở hai đầu mỗi đường chộo bằng nhau.
 De-Thi.com Tuyển tập 49 đề thi học sinh giỏi Toỏn Lớp 8 (Cú đỏp ỏn) - De-Thi.com
 ĐỀ SỐ 7
 THÀNH PHỐ ĐễNG HÀ ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI CẤP THCS
 MễN: TOÁN - LỚP 8
 ĐỀ CHÍNH THỨC Năm học: 2022 - 2023
 Thời gian làm bài: 150 phỳt
Cõu 1 (2,0 điểm) Giải phương trỡnh: 3x3 – 7x2 + 17x – 5 = 0
Cõu 2 (4,0 điểm)
 a 2 b2 a 2b2
1) Rỳt gọn biểu thức: P = - - ,
 (a + b)(1- b) (a + b)(1+ a) (1+ a)(1- b)
(a ạ - b,a ạ - 1,b ạ 1)
2) Cho cỏc số thực a, b, c, x, y, z thoả món x = by + cz ; y = ax + cz ; z = ax + by và x + y + z 
 1 1 1
ạ 0. Tớnh giỏ trị của biểu thức Q = + +
 1+ a 1+ b 1+ c
Cõu 3 (4,0 điểm)
1) Trong dóy số 13597 , mỗi chữ số đứng sau bắt đầu từ chữ số thứ tư bằng chữ số hàng 
đơn vị của tổng ba chữ số đứng ngay trước nú. Hỏi trong dóy này cú chứa dóy 789 khụng?
2) Cú hay khụng số tự nhiờn n để n2 + 2022 là số chớnh phương?
Cõu 4 (4,0 điểm)
a) Chứng minh (a – b)(a2 – b2) ³ 0
b) Với a + b + c = 3. Tỡm giỏ trị nhỏ nhất của biểu thức:
 a3 b3 c3
M = + +
 a 2 + b2 + ab b2 + c2 + bc c2 + a 2 + ca
Cõu 5 (6,0 điểm)
Cho hỡnh thoi ABCD cú BãAD= 400 , O là giao điểm hai đường chộo. Gọi H là hỡnh chiếu 
vuụng gúc của O trờn cạnh AB. Trờn tia đối của tia BC lấy điểm M, trờn tia đối của tia DC 
lấy điểm N sao cho HM song song với AN.
a) Chứng minh DMBH và DADN đồng dạng.
b) Chứng minh MB . DN = OB2 .
c) Tớnh số đo Mã ON.
 ---------HẾT---------
 De-Thi.com Tuyển tập 49 đề thi học sinh giỏi Toỏn Lớp 8 (Cú đỏp ỏn) - De-Thi.com
 ĐÁP ÁN
Cõu ý Nội dung Điểm
 3 2 2
 3x – 7x + 17x – 5 = 0 (3x – 1)(x – 2x + 5) = 0 0,5
 ộ3x - 1= 0 (1)
 ờ
 ờ 2
 ởx - 2x + 5 = 0 (2) 0,5
 1
 1
(2,0 (1) x = 
 3 0,5
điểm)
 Ta cú x2 – 2x + 5 = (x – 1)2 + 4 > 0 với mọi x ẻ Ă nờn (2) vụ nghiệm
 1 0,5
 Vậy PT đó cho cú một nghiệm x = 
 3
 a 2 (1+ a)- b2 (1- b)- a 2b2 (a + b)
 P =
 (a + b)(1+ a)(1- b) 0,5
 a 2 - b2 + a3 + b3 - a 2b2 (a + b)
 = 0,5
 1 (a + b)(1+ a)(1- b)
 (a + b)(a - b + a 2 - ab + b2 - a 2b2 )
 = 0,5
 (a + b)(1+ a)(1- b)
 2
 ộ 2 ự 0,5
 (a + b)(1- b)ờa (1+ b) + a - bỳ
(4,0 = ở ỷ
 (a + b) 1+ a (1- b)
điểm) ( ) 0,5
 (a + b)(1- b)(1+ a)(a + ab - b)
 = = a + ab - b
 (a + b)(1+ a)(1- b)
 Cộng vế theo vế cỏc đẳng thức đó cho ta được: 0,5
 x + y + z = 2(ax + by + cz)
 Vỡ x + y + z ạ 0 nờn ax + by + cz ạ 0
 2 Cộng hai vế của từng đẳng thức đó cho lần lượt với ax, by, cz ta được 0,25
 (a + 1)x = ax + by + cz; (b + 1)y = ax + by + cz; (c + 1)z 
 = ax + by + cz 0,5
 Suy ra:
 x y z x + y + z 0,25
 Q = + + = = 2
 ax + by + cz ax + by + cz ax + by + cz ax + by + cz
 Dóy bắt đầu bằng chữ số lẻ. Mà tổng ba số lẻ cũng là một số lẻ (hàng 
 đơn vị là số lẻ), nờn số thứ 4 cũng là số lẻ. 1,0
 3 Suy ra cỏc chữ số ở cỏc vị trớ 2, 3 và 4 là cỏc số lẻ. Suy ra chữ số ở vị trớ 
(4,0 1 thứ 5 cũng là số lẻ. Cứ tiếp tục như vậy, ta suy ra cỏc chữ số trong dóy 1,0
điểm) đều là chữ số lẻ. Vậy trong dóy đó cho khụng chứa dóy 789.
 De-Thi.com