Tổng hợp 17 đề kiểm tra cuối kì 2 Toán 12 Cánh Diều 2025-2026 (Kèm đáp án)

 Tổng hợp 17 đề kiểm tra cuối kì 2 Toán 12 Cánh Diều 2025-2026 (Kèm đáp án) - De-Thi.com
 Vậy bài toán dẫn đến việc tìm đường kính của mặt cầu tiếp xúc với 3 mặt phẳng toạ độ 0,25
 và chứa điểm M 17;18; 21 .
 2 2 2 0,25
 Ta có thể gọi phương trình mặt cầu là S : x a y a z a a2 , với a 0 
 ( do mặt cầu tiếp xúc với các mặt phẳng toạ độ nên a b c R ).
 Do M 17;18; 21 S nên 
 2 2 2 a 28 257
 17 a 18 a 21 a a2 2a2 112a 1054 0 .
 a 28 257
 0,25
 Vì quả bóng rổ tiêu chuẩn có đường kính từ 23 cm đến 24,5 cm nên a 28 257 
 thỏa mãn.
 Vậy đường kính quả bóng bằng 2a 56 2 257 23,9 cm .
 Trong quân sự, một máy bay chiến đấu của đối phương có thể xuất hiện ở vị trí X với xác suất 
 0,55 . Nếu máy bay đó không xuất hiện ở vị trí X thì nó xuât hiện ở vị trí Y . Để phòng thủ, các 
 bệ phóng tên lửa được bố trí tại các vị trí X và Y . Khi máy bay đối phương xuất hiện ở vị trí X 
 hoặc Y thì tên lửa sẽ được phóng để hạ máy bay đó. Xét phương án tác chiến sau: Nếu máy bay 
 xuất hiện tại X thì bắn 2 quả tên lửa và nếu máy bay xuất hiện tại Y thì bắn 1 quả tên lửa. 
 Biết rằng, xác suất bắn trúng máy bay của mỗi quả tên lửa là 0,8 và các bệ phóng tên lửa hoạt 
 động độc lập. Máy bay bị bắn hạ nếu nó trúng ít nhất 1 quả tên lửa. Tính xác suất bắn hạ máy bay 
 đối phương trong phương án tác chiến nêu trên?
 Xét biến cố A : “Máy bay xuất hiện ở vị trí X ”, điều đó có nghĩa là biến cố A : “Máy 0,25
 bay xuất hiện ở vị trí Y ”. Xét biến cố B : “Máy bay bị bắn hạ”. 
 3 Ta có P B P A ·P B|A P A ·P B|A . 
[VD]
 Tính P A , P A : P A 0,55 và P A 0,45 . 
 Tính P B|A : Đây là xác suất để máy bay bị bắn hạ tại vị trí X 0,25
 Máy bay bị bắn hạ nếu nó trúng ít nhất một 1 quả tên lửa (trong 2 quả tên lửa đối với 
 máy bay ở vị trí X ), mà xác suất bắn trúng máy bay của mỗi quả tên lửa là 0,8, vậy: 
 P B|A 1 1 0,8 1 0,8 0,96 .
 0,25
 Tính P B|A : Đây là xác suất để máy bay bị bắn hạ tại vị trí Y . 
 Máy bay bị bắn hạ nếu nó trúng ít nhất một 1 quả tên lửa (trong 1 quả tên lửa đối với 
 máy bay ở vị trí Y ), mà xác suất bắn trúng máy bay của mỗi quả tên lửa là 0,8, vậy: 
 De-Thi.com Tổng hợp 17 đề kiểm tra cuối kì 2 Toán 12 Cánh Diều 2025-2026 (Kèm đáp án) - De-Thi.com
 P B|A 0,8 .
 0,25
 Vậy P B P A ·P B|A P A ·P B|A 0,55.0,96 0,45.0,8 0,888 . 
 Vậy xác suất để máy bay bị bắn hạ là 0,888. 
 De-Thi.com Tổng hợp 17 đề kiểm tra cuối kì 2 Toán 12 Cánh Diều 2025-2026 (Kèm đáp án) - De-Thi.com
 ĐỀ SỐ 4
 UBND PHƯỜNG . ĐỀ KIỂM TRA CUỐI HỌC KÌ 2 NĂM HỌC 2025 – 2026
 TRƯỜNG THPT . MÔN THI: TOÁN – LỚP 12
 Thời gian: 90 phút (Không kể thời gian phát đề)
PHẦN I. Câu trắc nghiệm nhiều phương án lựa chọn. Mỗi câu hỏi học sinh chỉ chọn một phương án
Câu 1 [TD]. Nguyên hàm của hàm số f x x4 x2 là
 1 1
A. x5 x3 C B. x 4 x 2 C C. x5 x3 C . D. 4x3 2x C
 5 3
Câu 2 [TD]. Tìm nguyên hàm của hàm số f x 7x .
 7x
A. 7x dx C B. 7x dx 7x 1 C
 ln 7 
 7x 1
C. 7x dx C D. 7x dx 7x ln 7 C
 x 1 
 2 1
Câu 3 [TD]. Tích phân dx có giá trị bằng:
 1 x x
 2 8 2 8
A. 2 2 . B. 2 2 . C. . D. .
 20 20
Câu 4 [MH]. Một vật chuyển động trong 6 giờ với vận tốc v km / h phụ thuộc vào thời gian t h có đồ thị như 
hình bên dưới. Trong khoảng thời gian 2 giờ từ khi bắt đầu chuyển động, đồ thị là một phần đường Parabol có 
đỉnh I 3;9 và có trục đối xứng song song với trục tung. Khoảng thời gian còn lại, đồ thị vận tốc là một đường 
 1
thẳng có hệ số góc bằng . Tính quảng đường s mà vật di chuyển được trong 6 giờ?
 4
 De-Thi.com Tổng hợp 17 đề kiểm tra cuối kì 2 Toán 12 Cánh Diều 2025-2026 (Kèm đáp án) - De-Thi.com
 134 130
A. km . B. 9 km . C. 40 km . D. km .
 3 3
Câu 5 [TD]. Trong không gian Oxyz, cho mặt phẳng P : 3x 2y 4z 1 0 . Vectơ nào dưới đây là một vectơ 
pháp tuyến của P ?
     
 A. n4 3; 2;4 . B. n4 3;2; 4 . C. n4 3; 2; 4 . D. n4 3; 2;4 .
Câu 6 [TD]. Trong không gian Oxyz , phương trình mặt phẳng qua A 1;1; 2 và có vectơ pháp tuyến 
n 1; 2; 2 là
 A. .x 2 y 2 z 1 0 B. . x y 2z 1 0
 C. .x 2 y 2 z 7 0 D. . x y 2z 1 0
Câu 7[TD]. Trong không gian Oxyz , cho đường thẳng d đi qua điểm M 1; 3;4 và có một vectơ chỉ phương 
u 2;1;3 . Phương trình của d là
 x 1 2t x 2 t x 1 2t x 1 2t
A. y 3 t . B. y 1 3t C. y 3 t . D. y 3 t .
 z 4 3t z 3 4t z 4 3t z 4 3t
Câu 8 [TD]. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , cho mặt phẳng P : 6x 8y 10z 1 0 và đường thẳng 
 x 2 y 1 z 5
d : . Góc giữa đường thẳng d và mặt phẳng P là
 3 4 5
A. .9 0 B. . 45 C. . 60 D. . 30
Câu 9 [TD]. Trong không gian Oxyz . Tính cosin của góc giữa hai đường thẳng có phương trình lần lượt là 
 x y z x 1 y 1 z 1
d : , d : .
 1 2 1 1 2 3 3 9
 De-Thi.com Tổng hợp 17 đề kiểm tra cuối kì 2 Toán 12 Cánh Diều 2025-2026 (Kèm đáp án) - De-Thi.com
 1 1
A. . B. 0. C. 1. D. .
 2 2
 2 2 2
Câu 10 [TD]. Trong không gian Oxyz , cho mặt cầu S : x 3 y 1 z 2 16. Xác định toạ độ tâm 
 I và bán kính R của mặt cầu S .
A. I 3; 1;2 , R 8. B. I 3;1; 2 , R 16.
C. I 3;1; 2 , R 4. D. I 3; 1;2 , R 4.
Câu 11[TD]. Cho hai biến cố A và B , với P A 0,6 , P B 0,7 , P A  B 0,3 . Tính P A|B .
 3 1 6 1
A. . B. . C. . D. .
 7 2 7 7
Câu 12[TD]. Cho hai biến cố A và B , với P B 0,8 , P A | B 0,7 , P A | B 0,45. Tính P B | A .
 56
 A. 0,25 . B. 0,65. C. . D. 0,5.
 65
Phần II. Thí sinh trả lời câu 1, câu 2, câu 3. Trong mỗi ý a), b), c), d) ở mỗi câu, thí sinh chọn đúng hoặc sai.
Câu 1: Trong không gian Oxyz , cho hai điểm A 1;2;3 , B 1;0;3 và mặt phẳng (P) :x y z 1 0.
a) [TD]Tâm của mặt cầu đường kính AB là điểm có tọa độ là I(0;1;3).
b) [TD]Bán kính của mặt cầu đường kính AB bằng 2 2 .
c) [GQVĐ] Phương trình mặt cầu đường kính AB là x2 (y 1)2 (z 3)2 2 .
d) [GQVĐ] Mặt phẳng (P) tiếp xúc với mặt cầu đường kính AB .
 x 2t
 x y z 2 
Câu 2: Trong không gian Oxyz , cho d1 : và d2 : y 3 t . Mệnh đề nào sau đây đúng?
 1 2 3 
 z 0
 r
a) [TD] Vec tơ u 1; 2; 3 là một vec tơ chỉ phương của đường thẳng d1 .
b) [TD] d2 đi qua điểm A 0;3;0 .
c) [GQVĐ] d1 song song với d2 .
d) [GQVĐ] d1 vuông góc với d2
PHẦN III. Trả lời ngắn
 De-Thi.com Tổng hợp 17 đề kiểm tra cuối kì 2 Toán 12 Cánh Diều 2025-2026 (Kèm đáp án) - De-Thi.com
Câu 1[GQVĐ]: Một nhóm các nhà khoa học gồm 4 nhà toán học nam; 3 nhà toán học nữ và 4 nhà vật lí học 
nam. Lấy ngẫu nhiên ba người. Xác suất trong ba người có cả nam và nữ, cả toán và lí bằng?
Câu 2[GQVĐ]: Trong cơ quan có 100 người. Trong đó có 60 người gần cơ quan (trong đó có 40người là nam), 
có tổng cộng 30 nữ nhân viên. Theo quy định của cơ quan thì người nào hoặc là nam hoặc gần cơ quan sẽ phải 
tham gia trực. Tính xác suất để chọn ngẫu nhiên một người trong danh sách mà người đó lại là nữ trực cơ quan?
Câu 3[GQVĐ]: Cho điểm A 1; 2; 1 và mặt phẳng a : 2x 2y z 7 0 , Khoảng cách từ M đến mặt phẳng 
 a
 a có dạng tối giản; a;b ¢ . Tính T 2a b ?
 b
 x 2t
 x y 1 z 
Câu 4 [ GQVĐ]: Trong không gian Oxyz cho hai đường thẳng d1 : , d2 : y 1 . Gọi j là góc 
 1 2 2 
 z 1 t
 a c
giữa hai đường thẳng d ,d . Giá trị cosj có dạng . Tính giá trị biểu thức P b 3a c ?
 1 2 b
PHẦN IV. Câu hỏi tự luận
Câu 1[GQVĐ]. Trong một túi có một số viên kẹo cùng loại, chỉ khác màu, trong đó có 6viên kẹo màu cam, còn 
lại là kẹo màu vàng. Hà lấy ngẫu nhiên 1 viên kẹo từ trong túi, không trả lại. Sau đó Hà lại lấy ngẫu nhiên thêm 1 
 1
viên kẹo khác từ trong túi. Biết rằng xác suất Hà lấy được cả hai viên kẹo màu cam là . Hỏi ban đầu trong túi có 
 3
bao nhiêu viên kẹo?
Câu 2 [MH]. Trong hệ trục Oxyz cho trước (đơn vị trên trục là mét), cho một trạm thu phát sóng 5G có bán kính 
vùng phủ sóng của trạm ở ngưỡng 600m được đặt ở vị trí I 200; 450;60 . Tìm giá trị lớn nhất của m (làm tròn 
đến hàng đơn vị) để một người dùng điện thoại ở vị trí A m 100; m 370;0 có thể sử dụng dịch vụ của trạm 
nói trên.
Câu 3 [GQVĐ]. Một bình đựng 50 viên bi kích thước, chất liệu như nhau, trong đó có 30 viên bi xanh và 20 
viên bi trắng. Lấy ngẫu nhiên ra một viên bi, rồi lại lấy ngẫu nhiên ra một viên bi nữa. Tính xác suất để lấy được 
một viên bi xanh ở lần thứ nhất và một viên bi trắng ở lần thứ hai. Làm tròn kết quả đến chữ số thập phân thứ 2.
 De-Thi.com Tổng hợp 17 đề kiểm tra cuối kì 2 Toán 12 Cánh Diều 2025-2026 (Kèm đáp án) - De-Thi.com
 ĐÁP ÁN
PHẦN I. Câu trắc nghiệm nhiều phương án lựa chọn. Mỗi câu hỏi học sinh chỉ chọn một phương án
 1A 2A 3B 4D 5C 6A
 7D 8A 9B 10C 11A 12C
Phần II. Thí sinh trả lời câu 1, câu 2, câu 3. Trong mỗi ý a), b), c), d) ở mỗi câu, thí sinh chọn đúng hoặc sai.
Câu 1 S Đ S Đ
Câu 2 S Đ Đ S
PHẦN III. Trả lời ngắn
Câu 1: Một nhóm các nhà khoa học gồm 4 nhà toán học nam; 3 nhà toán học nữ và 4 nhà vật lí học nam. Lấy 
ngẫu nhiên ba người. Xác suất trong ba người có cả nam và nữ, cả toán và lí bằng?
 Lời giải
 3
Không gian mẫu n W C11 .
Gọi biến cố A :“ba người có cả nam và nữ, cả toán và lí”.
Ta có các trường hợp sau cho biến cố A
 1 1 1
Trường hợp 1: 1 nữ toán học; 1 nam toán học và 1 nam vật lí C 3 .C4 .C4 48
 1 0 2
Trường hợp 2: 1 nữ toán học; 0 nam toán học và 2 nam vật lí C 3 .C4 .C4 18.
 2 0 1
Trường hợp 3: 2 nữ toán học; 0 nam toán học và 1 nam vật lí C 3 .C4 .C4 12 .
Theo qui tắc cộng thì n A 48 18 12 78 cách.
 n A 78
Vậy xác suất của biến cố A bằng p A .
 n W 165
Câu 2: Trong cơ quan có 100 người. Trong đó có 60 người gần cơ quan (trong đó có 40người là nam), có tổng 
cộng 30 nữ nhân viên. Theo quy định của cơ quan thì người nào hoặc là nam hoặc gần cơ quan sẽ phải tham gia 
trực. Tính xác suất để chọn ngẫu nhiên một người trong danh sách mà người đó lại là nữ trực cơ quan?
 Lời giải
Gọi A: “Người được chọn là nam”.
và B: “Người được chọn là người phải trực”.
 De-Thi.com Tổng hợp 17 đề kiểm tra cuối kì 2 Toán 12 Cánh Diều 2025-2026 (Kèm đáp án) - De-Thi.com
 n A 3
Ta có: A : “Người được chọn là nữ” n A 30 P A .
 n W 10
 n BA 2
BA : “Người được chọn là nữ gần cơ quan” n BA 20 P BA .
 n W 10
Xác suất người được chọn là nữ và là người trực cơ quan là:
 2
 P BA 2
P B A 10 .
 P A 3 3
 10
Câu 3: Cho điểm A 1; 2; 1 và mặt phẳng a : 2x 2y z 7 0 , Khoảng cách từ M đến mặt phẳng a có 
 a
dạng tối giản; a;b ¢ . Tính T 2a b ?
 b
 Lời giải
Trả lời: 13
Khoảng cách từ M đến mặt phẳng a :
 2.1 2.2 1 7 8 a a 8
d M; a .
 2
 22 2 12 3 b b 3
Vậy T 2a b 13.
 x 2t
 x y 1 z 
Câu 4: Trong không gian Oxyz cho hai đường thẳng d1 : , d2 : y 1 . Gọi j là góc giữa hai 
 1 2 2 
 z 1 t
 a c
đường thẳng d ,d . Giá trị cosj có dạng . Tính giá trị biểu thức P b 3a c ?
 1 2 b
 Lời giải
 Trả lời: 8
 r r
Ta có ud1 1; 2; 2 ,ud2 2;0; 1 
 r r
 ud1 .ud2 1.2 2.0 2. 1 4 4 5
Khi đó cosj r r .
 2 2 2 2 2 2 3 5 15
 ud1 ud2 1 2 2 . 2 0 1 
 De-Thi.com Tổng hợp 17 đề kiểm tra cuối kì 2 Toán 12 Cánh Diều 2025-2026 (Kèm đáp án) - De-Thi.com
Vậy a 4,b 15,c 5 b 3a c 15 3.4 5 8
PHẦN IV. Câu hỏi tự luận
Câu 1: Trong một túi có một số viên kẹo cùng loại, chỉ khác màu, trong đó có 6 viên kẹo màu cam, còn lại là kẹo 
màu vàng. Hà lấy ngẫu nhiên 1 viên kẹo từ trong túi, không trả lại. Sau đó Hà lại lấy ngẫu nhiên thêm 1 viên kẹo 
 1
khác từ trong túi. Biết rằng xác suất Hà lấy được cả hai viên kẹo màu cam là . Hỏi ban đầu trong túi có bao 
 3
nhiêu viên kẹo?
 Lời giải
Trả lời: 10
Gọi A là biến cố “Hà lấy được viên kẹo màu cam ở lần thứ nhất”
Gọi B là biến cố “Hà lấy được viên kẹo màu cam ở lần thứ hai”
 1 1
Ta có: xác suất Hà lấy được cả hai viên kẹo màu cam là , suy ra P AB 
 3 3
Gọi n là số viên kẹo ban đầu trong túi n ¥ ,n 1 
 6 5
P A ; P B A 
 n n 1
Theo công thức nhân xác suất, ta có:
 6 5 30 1 2 2 n 9
P AB P A  P B A  2 n n 90 n n 90 0 
 n n 1 n n 3 n 10
Ta được n 9 (loại) hoặc n 10 (nhận).
Vậy ban đầu trong túi có 10 viên kẹo.
Câu 2: Trong hệ trục Oxyz cho trước (đơn vị trên trục là mét), cho một trạm thu phát sóng 5G có bán kính vùng 
phủ sóng của trạm ở ngưỡng 600m được đặt ở vị trí I 200; 450;60 . Tìm giá trị lớn nhất của m (làm tròn đến 
hàng đơn vị) để một người dùng điện thoại ở vị trí A m 100; m 370;0 có thể sử dụng dịch vụ của trạm nói 
trên.
 Lời giải
Trả lời: 512
 De-Thi.com Tổng hợp 17 đề kiểm tra cuối kì 2 Toán 12 Cánh Diều 2025-2026 (Kèm đáp án) - De-Thi.com
Để một người dùng điện thoại ở vị trí A m 100; m 370;0 có thể sử dụng dịch vụ của trạm thu phát sóng 5G 
có bán kính vùng phủ sóng của trạm ở ngưỡng 600m được đặt ở vị trí I 200; 450;60 thì 
 2 2 2
IA 600 m 100 m 80 60 6002
 180 712400 180 712400
 2m2 360m 340000 0 m .
 2 2
 180 712400
Vậy giá trị lớn nhất của m là 512 .
 2
Câu 3: Một bình đựng 50 viên bi kích thước, chất liệu như nhau, trong đó có 30 viên bi xanh và 20 viên bi trắng. 
Lấy ngẫu nhiên ra một viên bi, rồi lại lấy ngẫu nhiên ra một viên bi nữa. Tính xác suất để lấy được một viên bi 
xanh ở lần thứ nhất và một viên bi trắng ở lần thứ hai. Làm tròn kết quả đến chữ số thập phân thứ 2.
 Lời giải
Trả lời: 0,41
Gọi A: “Lấy được một viên bi xanh ở lần thứ nhất”,
và B: “Lấy được một viên bi trắng ở lần thứ hai”.
ta cần tính xác suất P A  B 
Theo công thức nhân xác suất P A  B P A .P B|A 
 30 3
Vì có 30 viên bi xanh trong tổng số 50 viên bi nên P A 
 50 5
Nếu A đã xảy ra, tức là một viên bi xanh đã được lấy ra ở lần thứ nhất, thì còn lại trong bình 49 viên bi trong đó số 
 20
viên bi trắng là 20, do đó P B|A 
 49
 3 20 12
Vậy xác suất cần tìm là P A  B P A .P B|A . 0,41
 5 49 29
 De-Thi.com