Bộ sưu tập 57 đề thi Toán Lớp 9 chọn lọc dành cho học sinh giỏi

 Bộ sưu tập 57 đề thi Toán Lớp 9 chọn lọc dành cho học sinh giỏi - De-Thi.com
 ĐÁP ÁN
Câu 1 (5,0 điểm)
 2 xy 1 1 xy 2 x xy x xy x 
1.1. Cho biểu thức:A 2 : ( với 
 1 xy 1 xy xy 1 xy 1 
x 0;y 0;xy 1) , (2)
a) Rút gọn biểu thức A .
 1 1
b) Cho 12, tìm giá trị lớn nhất của A .
 x y
 c c2 1 ac
1.2. Xét ba số thực dương a,b,c thoả mãn . Tính giá trị biểu thức 
 b b c c2 1
 1 1 1
P 
 ab a bc 1 bc b 1 ca c 1
Giải
1.1
a) Rút gọn A ;
 2(1 xy) (2 xy 1)(1 xy) (1 xy 2 x) ( xy x)( xy 1) ( xy x)( xy 1) 
A : 
 1 xy xy 1 
 2(1 x) 2 xy(1 x) 1
 : 
 1 xy 1 xy xy
b) Ta có
 1 1 2
12 2 A
 x y 4 xy
 6 A 36 A
 1
A đạt GTLN 36 khi x y 
 36
1.2 
c c2 1 ac
b b c c2 1
 ac c c2 1 
 c2 1 c 
 0 
 b 1
 De-Thi.com Bộ sưu tập 57 đề thi Toán Lớp 9 chọn lọc dành cho học sinh giỏi - De-Thi.com
 2 1 
 c 1 c ac 0
 b 
 2 1
Do c 1 c | c | c 0 nên ac 0 hay abc 1
 b
 1 1 1
P = 
 ab a bc 1 bc b 1 ca c 1
 1 1 1
 ab a abc 1 bc b 1 ca c 1
 1 1 1
 ab a 1 bc b 1 ca c 1
Đặt a x; b y; c z . Ta có xyz 1. Ta có
 1 1 1
P 
 xy x 1 yz y 1 zx z 1
 1 x xy 1 x xy
 1
 xy x 1 xyz xy x x2yz xyz xy xy x 1 1 xy x x 1 xy
Vậy P=1
Câu 2 (2,0 điểm). Khởi động một giờ học, cô An cho lớp chơi trò chơi "Quay số nhận quả". 
Vòng quay số gồm 6 ô gắn các số tự nhiên từ 1 đến 6 (mỗi số gắn trên một ô). Người chơi 
được quay số 3 lần. Sau 3 lần quay, nếu kết quả nhận được có đư các chữ số 3,1,2 thì sẽ 
được nhận quả. Hãy tỉnh xác suát để người chơi được nhận quà.
Bài giải
Không gian mẫu có 6.6.6 = 216 phần tử
Khả năng thuận lợi: Ta cần xác suất để kết quả 3 lần quay có chứa các chữ số 3,1 và 12 (có 
thể xuất hiện theo bất kỳ thứ tự nào). Tức là, ta cần 3 lần quay cho ra chính xác ba số 3,1, và 
2.
Số kết quả có thể có các số 3,1, và 2 (các số này xuất hiện 3 lần trong các ô quay, và mỗi lần 
quay có thể là 3,1, hoặc 2). 
Các kết quả có thể xảy ra theo các thứ tự khác nhau của ba số này.
Vậy số kết quả mong muốn là số cách sắp xếp ba số 3,1 số khác nhau: và 2 trong 3 lần quay, 
tức là số hoán vị của 3 số khác nhau :
3! = 3 x 2 x1=12
 1
Do đó xác suấtP =
 36
Câu 3(2, 0 điểm). Bình khởi hành từ thành phố Lào Cai về huyện Bảo Thắng. Sau đó 5 phút, 
Minh và An khởi hành từ huyện Bảo Thắng về thành phố Lào Cai. Trên đường đi Bình gặp 
 De-Thi.com Bộ sưu tập 57 đề thi Toán Lớp 9 chọn lọc dành cho học sinh giỏi - De-Thi.com
Minh rồi gặp An ở hai địa điểm cách nhau 6 km . Tính vận tốc mỗi người? Biết rằng thành 
phố Lào Cai cách huyện Bảo Thắng 33 km ; vận tốc của Bình gấp rưỡi vận tốc của An và 
 2
bằng vận tốc của Minh.
 3
Bài giải
Gọi Lào Cai là B , Bảo Thắng là D, vị trí gặp nhau của Minh và Bỉnh là M, của Bình và An 
là A
 2 3 
Gọi vận tốc của Bình là x km / h , vận tốc của An là x km/h, vận tốc của Minh là km/h.
 3 2
Thời gian Bình đến M gặp Minh là y (h)(y 0)
 3 1 
Ta có DM x y ;BM xy;BM DM 33 nên 20xy x 264
 2 12 
 2 1 6 2 1
DA x y xy x 4
 3 12 x 3 18
 3 1
DM xy x
 2 8
 2 1 3 1 5 5
Ta có DA 6 DM xy x 4 6 xy x xy x 10
 3 18 2 8 6 72
Từ (1) và (2) suy ra xy 15;x 36
Do đó vận tốc của Bình là 36 km/h; vận tốc của An là 24 km/h, vận tốc của Minh là 54 km/h
Câu 4 (2,0 điểm)
4.1. Cho a, b là các số thực thỏa mãn a b ab 8. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức 
P a2 b2.
4.2. Với a,b,c 0,3bc ac ab 1. Chứng minh rằng a3b3c3 b3 c3 3b3c3.
Đáp án:
4.1
 2 a2 b2 4ab
 2 
Cách 1: a 4 4a  3P 8 4(ab a b) 4.8 P 8. 
 b2 4 4b
  
Dấu bằng khi a b 2
Cách 2:
 De-Thi.com Bộ sưu tập 57 đề thi Toán Lớp 9 chọn lọc dành cho học sinh giỏi - De-Thi.com
 Giả thiết P 2 2 P 16 0 ( P 8)( P 4 2) 0 P 8
Dấu bằng khi a b 2
 a a 1
4.2 Giả thiết cho 3bc ac ab 1 ac ab 1 3bc 3.
 b c bc
 1 1
Đặt x, y , ta có ax ay xy 3
 b c
 (a x y)2 3(ax ay xy) 9 a x y 3
Lại có a3 x3 y3 a3 2 x3 2 y3 2 6 3(a x y) 6 3
 1 1
 a3 3 hay a3b3c3 b3 c3 3b3c3
 b3 c3
Cách 2:
 1 1
Có 3bc ac ab 1 3 ad ae de,d ,e 
 b c
 1 1
Cần chứng minh: a3 3
 c3 b3
Tương đương với a3 d3 e3 3
 a3 d3 1 a3 e3 1 d3 e3 1
Ta có 3 a3 d3 e3 3. 
 3 3 3
Suy ra điều phải chứng minh
Câu 5 (3, 0 điểm)
5.1. Chúmg minh rằng với mọi số tự nhiên n 3 thì A n 3 n2 n 2 không phải là số 
nguyên tố.
5.2. Chox , y là các số nguyên thỏa mãn xy(x y) 1 chia hết cho 3 . Chứng minh x y 
chia hết cho 3.
5.3. Tìm tất cả các số nguyên x,y thỏa mãn phương trình: 6x2 xy 2y2 4x 2y 7 0.
Đáp án:
5.1 Ta có A n 3 n2 n 2 (n 2) n2 n 1 
Mà n 3 nên n 2 1 và n2 n 1 1 A là hợp số
 De-Thi.com Bộ sưu tập 57 đề thi Toán Lớp 9 chọn lọc dành cho học sinh giỏi - De-Thi.com
 x  1 mod 3 
 x 0 mod 3 
 y  2 mod 3
5.2 Do xy x y 13 nên xy x y  3 y 0 mod 3 
 x  2 mod 3 
 x y mod 3 
 y  1 mod 3
 x y3
5.3 Ta có: 6x2 – xy – 2y2 + 4x + 2y – 7 = 0
⇒ (2x + y)(3x – 2y) + 2(2x + y) – 7 = 0
⇒ (2x + y)(3x – 2y + 2) = 7
 2x + y 1 y - 1 - 7
 3x – 2y + 2 y 1 - 7 - 1
 13 11 17
 x 1 
 7 7 7
 23 15 15
 y - 1 
 7 7 7
 Tm (loại) (loại) (loại)
Vậy (x,y) (1; 1) là nghiệm duy nhất
Cách 2:
6x2 ( y 4)x 2y2 2y 7 0
 ( y 4)2 24 2y2 2y 7 49y2 56y 184 (7y 4)2 168
Để phương trình có nghiệm nguyên thì là số chính phương tồn tại số tự nhiên z mà : 
 z2 z2 (7y 4)2 168 (z 7y 4)(z 7y 4) 168;z | 7y 4 |
Do z 7y 4 và z 7y 4 cùng tính chẵn lẻ.
Nên ta xét các trường hợp 2 84;4 42
 ta có x 1,y 1 là nghiệm duy nhất
Câu 6 (6,0 điểm) Cho tam giác ABC nhọn (AB AC) nội tiếp đường tròn (O), có đường 
cao AH . Gọi I là tâm đường tròn nội tiếp tam giác ABC . Đường thẳng AI cắt đường tròn 
(O) tại điểm thứ hai là M .
Kẻ đường kínhAK của đường tròn (O). Đường thẳng MK cắt các đường thẳng AH và BC thứ 
tự tại P và Q. Gọi F là giao điểm của AM và BC.
a) Chứng minh: FA.FM=FH.FQ.
b) Chứng minh: VAKP cân;
c) Chứng minh: MB2 MK . MQ và tứ giác QIHP nội tiếp.
d) Đường thẳng KI cắt đường tròn (O) tại điểm thứ hai là D . Hai đường thẳng AD và BC cắt 
nhau tại R. Gọi E là trung điểm của AR. Chứng minh ba điểm Q, I, E thẳng hàng.
 De-Thi.com Bộ sưu tập 57 đề thi Toán Lớp 9 chọn lọc dành cho học sinh giỏi - De-Thi.com
Đáp án:
 · · · ·
a) Do AHQ AMQ nên AHMQ nội tiếp FAH FQM VFAH ∽ VFQM
 FA FQ
 FA  FM FH  FQ .
 FH FM
b) Gọi: N AH  (O) KN P BC (vì KN,BC cùng  AH ) 
 BK CN mà M là điểm chính giữa cung BC nên MB MC
 MK MN M· AP M· KN M· NK M· AK
mà AM  KP VAKP cân tạiA .
 1 1
c) K· BM sđK¼M sđM¼N M· AN M· QB
 2 2
 MB là tiếp tuyến của đường tròn (QBK) MB 2 MK  MQ
*Ta có tính chất quen thuộc: MI MB
Theo trên: MI 2 MP 2 MK  MQ MP  MQ
 Q· IP 90 mà Q· HP 90 QIHP nội tiếp
d) Ta có A¶R 90 A· ID 90 KIM 90 P· IM
 I P¶Q I H· Q
 AIHR nội tiếp A· IR A· HR 90
Ta có A· IE D¶AI I·KM I·PQ Q· IM
 Q,I ,E thẳng hàng
 De-Thi.com Bộ sưu tập 57 đề thi Toán Lớp 9 chọn lọc dành cho học sinh giỏi - De-Thi.com
 ĐỀ SỐ 6
 SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO KỲ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI
 TỈNH PHÚ YÊN TRUNG HỌC CƠ SỞ CẤP TỈNH
 Ngày thi: 05/03/2025 NĂM HỌC 2024 – 2025
 1 1 1 1
Câu 1: (4.00 điểm) Cho biểu thức: = + ×
 2 1 1 1 2 1 1
a) Tìm điều kiện xác định của A
 1 1
b) Chứng minh rằng: = 
 1
c) Với giá trị nguyên nào của thì có giá trị nguyên.
 = + 1
 1
 = + 2 2 2
Câu 2: (3.00 điểm) Cho và biểu thức = + + ― 
 = + 1
Chứng minh rằng với mọi giá trị của , thì biểu thức không phụ thuộc vào biến , .
 2 5
 2 
Câu 3: (4.00 điểm) Giải phương trình sau: + = 
 1 4
Câu 4: (4.00 điểm) 
1. Cho đường tròn tâm (O) và hai dây cung MN, PQ cắt nhau tại I với cung QN không chứa 
 1
điểm P và cung MP không chứa điểm Q. Chứng minh rằng: .
 푄 = 2 푠 (푄 + 푃)
2. Chứng minh rằng một tứ giác có tổng hai góc đối bằng 180 độ là tứ giác nội tiếp.
3. Trên đường tròn tâm (O) lấy ba điểm A, B, C sao cho = . Dựng hai dây cung BD và 
BE, chúng cắt dây AC lần lượt tại hai điểm M và N. Chứng minh rằng.
a) Tứ giác EDMN là tứ giác nội tiếp
b) Nếu AN = CM thì tứ giác EDMN là hình gì? Vì sao?
Câu 5: (3.00 điểm) Cho hai đường tròn (O1; R) và (O2; r) tiếp xúc ngoài tại I (R > r). Một 
đường thẳng d không đi qua I đồng thời tiếp xúc với (O1; R) và (O2; r) lần lượt tại hai điểm 
A, B. Gọi H là chân đường cao kẻ từ O2 đến cạnh O1A. Gọi M là trung điểm của AH, đường 
thẳng qua M vuông góc với AH cắt đường tròn (O1; R) tại điểm K (K khác phía I so với AH).
Chứng minh rằng:
a) AK = 푅 .
b) Đường thẳng KH tiếp xúc với (O2; r).
 ( 2 )(1 2 ) 1
Câu 6: (2.00 điểm) Cho hai số Chứng minh rằng: 
 ≥ 0, ≥ 0. ( 1)2(1 2 )2 ≤ 4
 ------------HẾT------------
 ĐÁP ÁN
 De-Thi.com Bộ sưu tập 57 đề thi Toán Lớp 9 chọn lọc dành cho học sinh giỏi - De-Thi.com
 1 1 1 1
Câu 1: (4.00 điểm) Cho biểu thức: = + ×
 2 1 1 1 2 1 1
a) Tìm điều kiện xác định của 
 1 1
b) Chứng minh rằng: = 
 1
c) Với giá trị nguyên nào của thì có giá trị nguyên.
Đáp án:
 + 2 + 1 + 1 ≠ 0
a) Để biểu thức xác định thì: + 1 ― 1 ≠ 0
 + 1 ≥ 0
Với + 2 + 1 +1 ≠ 0 thì ta có:
 + 2 + 1 + 1 = + 1( + 1 + 2) ≠ 0
Suy ra: + 1 ≠ 0 hoặc + 1 +2 ≠ 0 (luôn đúng)
Do đó: + 1 ≠ 0, suy ra ≠ ―1
Với + 1 ―1 ≠ 0 thì ta có:
 + 1 ≠ 1
 + 1 ≠ 1
 ≠ 0
Với + 1 ≥ 0 thì ta có: 
 ≥ ―1
Vậy để biểu thức xác định thì: > ―1 và ≠ 0
 1 1 1 1
a) = + ×
 2 1 1 1 2 1 1
 1 1 1 1
 = + ×
 1( 1 2) 1 2 1 1
 1 1 1 1
 = ×
 1( 1 2) 1 1
Đặt = + 1, khi đó biểu thức trở thành:
 2 2 1 ( 2 2)( 1)
 = ( 2) × 1 = ( 1)( 2)
Ta có: 2 + ― 2 = 2 ― + 2 ― 2 = ( ― 1) +2( ― 1) = ( ― 1)( + 2)
Khi đó biểu thức trở thành:
 ( 1)( 1)( 2) 1 1 1
 = = = (đpcm)
 ( 1)( 2) 1
 1 1 1
a) Ta có = = 1 +
 1 1
 1
Để có giá trị nguyên thì sẽ có giá trị nguyên, mà 1 đã là số nguyên nên do đó 
 1 + 1
 1
 cũng sẽ là số nguyên hay 1 chia hết cho . 
 1 + 1
 De-Thi.com Bộ sưu tập 57 đề thi Toán Lớp 9 chọn lọc dành cho học sinh giỏi - De-Thi.com
Điều này tương đương với + 1 thược ước của 1.
Hay + 1 ∈ { ± 1} mà + 1 > 0 nên + 1 = 1, suy ra: + 1 = 1 hay = 0.
Nhưng để xác định thì phải thỏa mãn > ―1 và ≠ 0.
Do đó không có giá trị nguyên nào xủa thỏa mãn để là số nguyên.
 = + 1
 1
 = + 2 2 2
Câu 2: (3.00 điểm) Cho và biểu thức = + + ― 
 = + 1
Chứng minh rằng với mọi giá trị của , thì biểu thức không phụ thuộc vào biến , .
Đáp án:
 1 1 1 1
Ta có: , suy ra 2 2 2
 = + = + 2 +2 = + 2 +2 
 1 1 1 1
 2 2 2
 = + , suy ra = + 2 +2 = + 2 +2 
 1 1 1 1
 2 2 2
 = + , suy ra = + ( )2 +2 ( ) = ( ) + ( )2 +2
 1 1 1 1 1
 = + + + = + + + +
 1 1 1
= 2 2 2 2
 ( ) + ( )2 + + 2 + + 2 +
Do đó: 
 = 2 + 2 + 2 ― 
 = 
 1 1 1 1 1 1
 2 + 2 + 2 – 2 2 2 2 
 + 2 +2 + 2 +2 ( ) + ( )2 +2 ( ) + ( )2 + + 2 + + 2 +
 = 4
Vậy với mọi giá trị của , thì biểu thức không phụ thuộc vào biến , .
 2 5
 2 
Câu 3: (4.00 điểm) Giải phương trình sau: + = 
 1 4
Đáp án:
Thực hiện quy đòng vế trái ta có:
 2 2( 1)2 2( 2 2 1) 2 4 3 2
 2 2 2 
 + = = = 
 1 ( 1)2 ( 2 2 1) 2 2 1
 4 3 2 5
Khi đó phương trình trở thành: 2 =
 2 2 1 4
Điều đó tương đương: 
4( 4 ―2 3 + 2 2) = 5 ( 2 ―2 + 1)
4 4 ― 8 3 + 8 2 = 5 2 ― 10 + 5
4 4 ― 8 3 + 3 2 + 10 ― 5 = 0
4 4 + 4 3 ― 12 3 ― 12 2 + 15 2 + 15 ― 5 ― 5 = 0
4 3( + 1) ― 12 2( + 1) + 15 ( + 1) ― 5( + 1) = 0
 De-Thi.com Bộ sưu tập 57 đề thi Toán Lớp 9 chọn lọc dành cho học sinh giỏi - De-Thi.com
( + 1)(4 3 ― 12 2 + 15 ― 5) = 0
( + 1)(4 3 ― 2 2 ― 10 2 + 5 + 10 ― 5) = 0
( + 1) 2 2(2 ― 1) ― 5 (2 ― 1) + 5(2 ― 1 = 0
( + 1)(2 ― 1)(2 2 ― 5 + 5) = 0
Suy ra: + 1 = 0 hoặc 2 ― 1 = 0 hoặc 2 2 ―5 + 5 = 0
Với + 1 = 0 thì = ―1 ( )
 1
Với thì 
 2 ― 1 = 0 = 2 ( )
Với 2 2 ―5 + 5 = 0
Xét ∆ = 2 ―4 = 25 ― 4.2.5 = 25 ― 40 = ― 15 < 0
Do đó phương trình vô nghiệm.
 1
Vậy phương trình có hai nghiệm là .
 = ―1, = 2
Câu 4: (4.00 điểm) 
1. Cho đường tròn tâm (O) và hai dây cung MN, PQ cắt nhau tại I với cung QN không chứa 
 1
điểm P và cung MP không chứa điểm Q. Chứng minh rằng: .
 푄 = 2 푠 (푄 + 푃)
2. Chứng minh rằng một tứ giác có tổng hai góc đối bằng 180 độ là tứ giác nội tiếp.
3. Trên đường tròn tâm (O) lấy ba điểm A, B, C sao cho = . Dựng hai dây cung BD và 
BE, chúng cắt dây AC lần lượt tại hai điểm M và N. Chứng minh rằng:
a) Tứ giác EDMN là tứ giác nội tiếp
b) Nếu AN = CM thì tứ giác EDMN là hình gì? Vì sao?
Bài giải
1. Ta có 푄 là góc ngoài của tam giác 푃, do đó:
 푄 = 푃 + 푃
 1
Mà: = sđ (chắn cung QN),
 푃 2 푄
 1
 = sđ (chắn cung MP),
 푃 2 푃
 1
Do đó: .
 푄 = 2 푠 (푄 + 푃)
2. 
Cách 1: Dựng đường tròn (O) ngoại tiếp tam giác ABD. 
Giả sử đường tròn (O) cắt OC tại C’. 
Ta có tứ giác ABC’D nội tiếp đường tròn tâm O
 De-Thi.com