Bộ sưu tập 54 đề thi Toán Lớp 12 chọn lọc dành cho học sinh giỏi

 Bộ sưu tập 54 đề thi Toán Lớp 12 chọn lọc dành cho học sinh giỏi - De-Thi.com
Gọi E , E' lần lượt là tâm của hình chữ nhật ADD A , A B C D .
Khi đó: EE DA C  AB D .
Dựng A H , D F lần lượt là đường cao của hai tam giác DA C , AB D .
 A K  EE 
Dễ thấy: A H , D F , EE đồng qui tại K và .
 D K  EE 
Hình chữ nhật DD C C có: DC DD 2 D C 2 2 5a .
Hình chữ nhật ADD A có: A D AD2 AA 2 5a .
Hình chữ nhật A B C D có: A C A B 2 B C 2 13a .
 2S 305 305
Suy ra: S 61a2 A H DA C a A K a .
 DA C DC 5 10
 305
Hoàn toàn tương tự ta có: D K a .
 10
 A K 2 D K 2 A D 2 29
Trong tam giác A D K có: cos x .
 2.A K.D K 61
 29
 cos cos x .
 61
 1 2 n
Câu 17. Tính các tổng sau: S2 Cn 2Cn ... nCn
A. 2n.2n 1 . B. n.2n 1 . C. 2n.2n 1 .D. n.2 n-1.
Hướng dẫn giải:
Chọn A
 n! n!
Ta có: kC k k. 
 n k!(n k)! (k 1)![(n 1) (k 1)]!
 (n 1)!
 n nC k 1 , k 1
 (k 1)![(n 1) (k 1)]! n 1
 n n 1
 k 1 k n 1
 S2  nCn 1 nCn 1 n.2 .
 k 1 k 0
Câu 18. Có bao nhiêu giá trị nguyên dương của tham số m để bất phương trình 
log2 x 3log x 2
 3 3 0 có không quá 3 nghiệm nguyên dương?
 m 2x
A. 127 .B. 128.C. 63.D. 64 . 
 De-Thi.com Bộ sưu tập 54 đề thi Toán Lớp 12 chọn lọc dành cho học sinh giỏi - De-Thi.com
Lời giải
Chọn B
 x 0 x 0
Điều kiện của bất phương trình x x (*).
 m 2 0 2 m
Với m 1 không tồn tại x 0 để bất phương trình tồn tại. Do đó m 1 thỏa mãn.
 2
Với điều kiện trên bất phương trình tương đương log3 x 3log3 x 2 0 3 x 9 (**). 
 3 x 9
Kết hợp điều kiện (*) và (**) ta được 2x m .
 m 1
Khi đó bài yêu cầu của bài toán trở thành. Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số m 1 để 
bất phương trình 2x m (***) có không quá 3 nghiệm nguyên 3 x 9
Xét hàm số f x 2x , có f x 2x ln 2 0, x .
BBT:
 x 3 4 5 6 7 9
 y 
 512
 y
 8 228
TH1: 1 m 8 bất phương trình (***) vô nghiệm. (thỏa mãn yêu cầu bài toán)
 m 2,3,4,...,8 có 7 giá trị m .
TH2: 8 m 27 8 m 128 bất phương trình (***) có không quá 3 nghiệm nguyên dương 
thuộc 3;9 thỏa mãn yêu cầu bài toán.
 m 9,10,11,...,128 có 120 giá trị m . 
Vậy có tổng công 128 giá trị nguyên dương của tham số m .
Câu 19. Cho hàm số y f (x) xác định và liên tục trên ¡ , có đồ thị f (x) như hình vẽ.
 2 2
 x3 m x 4 
Có bao nhiêu giá trị nguyên âm của m 20;20 để hàm số g(x) f đồng 
 4 20
biến trên khoảng 0; .
A. 6 . B. 7 . C. 17 . D. 18.
Lời giải
 De-Thi.com Bộ sưu tập 54 đề thi Toán Lớp 12 chọn lọc dành cho học sinh giỏi - De-Thi.com
 3 2.m.2x. x2 4 3 mx x2 4
 3 2 x 3 2 x 
Ta có: g (x) x f x f .
 4 4 20 4 4 5
 2 2
 x3 m x 4 
Để hàm số g(x) f đồng biến trên khoảng 0; thì g (x) 0,x 0; 
 4 20
 2
 3 x3 mx x 4 15 x3 x
 2 
 x f 0,x 0; m . f . 2 ,x 0; .
 4 4 5 4 4 x 4
 15 x3 x
Xét hàm số h(x) . f . 2 , x 0; .
 4 4 x 4
 x3 
Dựa vào đồ thị ta có: min f (x) 3, đạt được khi x 2 nên min f 3 , đạt được khi 
 0; 0; 4 
x 2 . (*)
 x 4 x2
Xét hàm số p(x) 2 ; p (x) 2 . 
 x 4 x2 4 
Bảng biến thiên của hàm số p(x) trên khoảng 0; :
 1 1
Suy ra 0 p(x) và max p(x) , đạt được khi x 2 . (**) 
 4 0; 4
 15 1 45
Từ (*) và (**) ta có: min h(x) .( 3). , đạt được khi x 2 .
 0; 4 4 16
 45
Do đó: m mà m là số nguyên âm nên m 19; 18;...; 3.
 16
Vậy có 17 giá trị của m thỏa mãn yêu cầu bài toán. 
Câu 20. Vào dịp kỷ niệm Quốc khánh 02/9/2024, thành phố X tổ chức bắn pháo hoa. Có 2 
ống bắn pháo hoa A và B được đặt trong 2 mặt phẳng song song với nhau và cách nhau 2 m , 
ống bắn A đặt nghiêng so với mặt đất một góc 800 và ống bắn B nghiêng so với mặt đất một 
góc 70 . Hai pháo A và B được bắn đồng thời và cùng đi được quãng đường 100m thì nổ. 
Chọn hệ trục Oxyz như hình vẽ.
 De-Thi.com Bộ sưu tập 54 đề thi Toán Lớp 12 chọn lọc dành cho học sinh giỏi - De-Thi.com
Khi nổ hai quả pháo cách nhau bao nhiêu m . (Làm tròn đến hàng phần trăm)
A. 17,55m.B. 17,54m. C. 15,55m.D. 15,54m.
Lời giải
Chọn A
 DK
Ta có: sin DOK DK 100sin80 .
 DO
 OK
cos DOK OK 100cos80 .
 DO
 D 100cos80 ;0;100sin80 .
 CH
Ta có: sin CBH CH 100sin 70 
 BC
 BH
cosCBH BH 100cos70 .
 BC
 C 100cos70 ;2;100sin 70 .
 2 2
Ta có: DC 100cos70 100cos80 22 100sin 70 100sin80 17,55m .
PHẦN II. Câu trắc nghiệm đúng sai. Thí sinh trả lời từ câu 1 đến câu 5. Trong mỗi ý a), 
b), c), d) ở mỗi câu, thí sinh chọn đúng hoặc sai.
 2x2 mx 1 
Câu 1. Cho hàm số y f x log .
 2 
 x 2 
 2x 1
a) Khi m 0 thì đạo hàm của y f x trên 2; là y .
 2x2 1 ln 2 x 2 ln 2
b) Khi m 1 thì phương tình f x 1 có hai nghiệm phân biệt.
c) Khi 0 m 2 2 thì tập xác định của hàm số y f 2 x2 là D 2 ; 2 .
d) Tập các giá trị của m để phương trình f x 2x2 mx 1 x 2 có hai nghiệm phân biệt 
 9 
là ; .
 2 
Lời giải
Chọn a) Đúng | b) Sai | c) Đúng | d) Đúng.
 2x2 mx 1 1
a) Khi m 0 thì ta có y f x log log 2x2 1 log x 2 .
 2 2 2 
 x 2 2
 De-Thi.com Bộ sưu tập 54 đề thi Toán Lớp 12 chọn lọc dành cho học sinh giỏi - De-Thi.com
 1 4x 1 2x 1
Do đó, f x . . 
 2 2x2 1 ln 2 x 2 ln 2 2x2 1 ln 2 x 2 ln 2
 Chọn ĐÚNG.
 2x2 x 1 
b) Khi m 1 thì phương tình f x 1 trở thành log 1. 
 2 
 x 2 
 2
Khi đó 2x2 x 1 2. x 2 , x 2 hay 2x 17x 15 0, x 2 . Suy ra x 1 . 
Chọn SAI.
 2
c) Khi 0 m 2 2 thì 2x mx 1 có m2 8 0 nên 2x2 mx 1 0, x ¡ . 
Do đó, hàm số y f 2 x2 xác định khi 2 x2 2 0 hay 4 x2 0 . Suy ra 2 x 2 .
Chọn ĐÚNG.
 2x2 mx 1 0 2x2 mx 1 
d) Điều kiện: . Ta có log 2x2 mx 1 x 2
 2 
 x 2 0 x 2 
 2 2
nên log2 2x mx 1 2x mx 1 x 2 log2 x 2 
Xét hàm số f t log2 t t trên khoảng 0; ,
 1
có f t 1 0,t 0; hàm số f t đồng biến trên 0; 
 t ln 2
 x 2
Mà f 2x2 mx 1 f x 2 2x2 mx 1 x 2 
 2
 x m 4 x 3 0
Do h x x2 m 4 x 3 là tam thức bậc hai nên có bảng biến thiên
Phương trình đã cho có hai nghiệm phân biệt khi và chỉ khi phương trình 
h x x2 m 4 x 3 0 
có hai nghiệm phân biệt lớn hơn 2.
 4 m m 8
 2 
 2 9 9
Suy ra: m m .
 4 m 2 2
 h 0 9 2m 2
 2 4 m 
 3 0
 2 
 De-Thi.com Bộ sưu tập 54 đề thi Toán Lớp 12 chọn lọc dành cho học sinh giỏi - De-Thi.com
 9 
Vậy m ; thỏa mãn yêu cầu bài toán.. 
 2 
Chọn ĐÚNG.
Câu 2: Cho lăng trụ ABCD.A B C D có đáy ABCD là hình chữ nhật với AB 6 , AD 3 , 
A C 3 và mặt phẳng AA C C vuông góc với mặt đáy. Biết hai mặt phẳng AA C C , 
 3
 AA B B tạo với nhau góc có tan . Gọi M là trung điểm của AA và K là hình chiếu 
 4
của B trên AC .
a) sđ B , AA', D sđ B· AD
b) BK  AA 
c) CM 2 2
d) Thể tích của khối lăng trụ ABCD.A B C D là 8
A. V 12. B. V 6 . C. V 8 . D. V 10.
Lời giải
Sai – đúng – đúng – đúng
a) sđB , AA', D sđ B· AD . Mệnh đề sai
b) Kẻ A H vuông góc với AC tại H , KN vuông góc với AA tại N .
Do AA C C  ABCD suy ra A H  ABCD và BK  AA C C BK  AA Mệnh đề đúng
 D' C'
 A' B'
D M C
 K
 N α
 H
 A B
c) AA  BKN AA  NB suy ra ·AA C C , AA B B K· NB .
Ta có: ABCD là hình chữ nhật với AB 6 , AD 3 suy ra BD 3 AC
 AK AN NK
Suy ra ACA cân tại C . Suy ra CM  AA KN //CM .
 AC AM MC
 BA.BC
Xét ABC vuông tại B có BK là đường cao suy ra BK 2 và
 AC
 AB2
AB2 AK.AC AK 2
 AC
 3 KB 3 4 2
Xét NKB vuông tại K có tan tan K· NB KN .
 4 KN 4 3
 4 2 2
Xét ANK vuông tại N có KN , AK 2 suy ra AN .
 3 3
 De-Thi.com Bộ sưu tập 54 đề thi Toán Lớp 12 chọn lọc dành cho học sinh giỏi - De-Thi.com
 2 4 2
 2 3 3 AM 1 AA 2
 . Mệnh đề đúng
 3 AM MC CM 2 2
 CM.AA 2 2.2 4 2
d) Ta lại có: A H.AC CM.AA A H 
 AC 3 3
 4 2
Suy ra thể tích khối lăng trụ cần tìm là: V A H.AB.AD . 6. 3 8. Mệnh đề đúng
 3
Câu 3. Số giờ có ánh sáng của một thành phố X ở vĩ độ 40 bắc trong ngày thứ t của một 
năm không nhuận được cho bởi hàm số: d t 3sin t 80 12 , t ¢ và 0 t 365. Vào 
 182 
ngày nào trong năm thì thành phố X có nhiều giờ ánh sáng nhất?
a) Số giờ có ánh sáng trong ngày không vượt quá 15
b) Chu kỳ của hàm số : d t 3sin t 80 12 là 364
 182 
c) Trong tháng 1 có một ngày mà số giờ có ánh sáng là 9
d) Ngày có nhiều giờ ánh sáng nhất là ngày 21 tháng 6
Lời giải
Đúng – đúng – sai – sai
a) Ta có: d t 3sin t 80 12 3 12 15 Mệnh đề đúng
 182 
 2 
b) Chu kỳ của hàm số : d t 3sin t 80 12 là T 364 Mệnh đề đúng
 182 
 182
c) Trong tháng 1 có một ngày mà số giờ có ánh sáng là 9
d t 3sin t 80 12 9 sin t 80 1
 182 182 
 t 80 k2 t 11 364k . Vì trong tháng 1 nên 1 t 31
 182 2
 12 42
1 11 364k 31 k . Vì k ¢ k  Mệnh đề sai
 364 364
d) Ta có : d t 3sin t 80 12 3 12 15 
 182 
Dấu bằng xảy ra khi sin t 80 1 t 80 k2 k ¢ 
 182 182 2
 t   k .
 171 194
Mặt khác t 0;365 nên    k 365 k .
 364 364
Mà k ¢ nên k 0 .
Vậy t 171 . Ngày thứ 171 là ngày 20 tháng 6 Mệnh đề sai
Câu 4. Cho hình hộp ABCD  A B C D , biết điểm A 5; 2;0 , B 4;5; 2 ,C 0;3;2 , A 9;0;5 . Gọi 
M là trung điểm AA .
 De-Thi.com Bộ sưu tập 54 đề thi Toán Lớp 12 chọn lọc dành cho học sinh giỏi - De-Thi.com
a) Tọa độ D 1; 4;4 .
   3 609
b) Giá trị cos MB;MD .
 609
     
c) AA C D BC AC 3 29 .
      
d) Điểm K di chuyển trên trục Ox . Đặt Q 2 KA KB KC 3 KB KC . Giá trị nhỏ nhất của 
Q bằng 6 37 .
Lời giải
Chọn a) Đúng | b) Sai | c) Đúng | d) Đúng.
a) Gọi D x; y; z .
   
Ta có: ABCD là hình bình hành AB DC 
  x 1 x 1
 AB 1;7; 2 
Ta có:  3 y 7 y 4 D 1; 4;4 
 DC x;3 y;2 z 
 2 z 2 z 4
Chọn ĐÚNG.
 5 
b) M là trung điểm AA M 7; 1; 
 2 
  9 3 29  3 3 21
Ta có: MB 3;6; MB , MD 6; 3; MD .
 2 2 2 2
  27 27
MB.MD 18 18 .
 4 4
 27
   
   MB.MD 3 609
Ta có: cos MB;MD   4 .
 MB . MD 3 29 3 21 609
 .
 2 2
Chọn SAI.
            
c) Ta có: AA C D BC AC CC CD CB CA CA CA 2 CM .
  1 3 29
Ta có: CM 7; 4; CM 
 2 2
     
Vậy AA C D BC AC 3 29 .
Chọn ĐÚNG.
             
d) Ta có Q 2 KA KB KC 3 KB KC 2 3KG GA GB GC 3 2KI IB IC
Với G 3;2;0 là trọng tâm của tam giác ABC và I 2;4;0 là trung điểm BC . 
 De-Thi.com Bộ sưu tập 54 đề thi Toán Lớp 12 chọn lọc dành cho học sinh giỏi - De-Thi.com
   
Ta có: Q 2 3KG 3 2KI 6 KG KI 
Do G và I nằm cùng phía so với Ox nên gọi G 3; 2;0 là điểm đối xứng của G qua Ox .
   
Khi đó Q 2 3KG 3 2KI 6 KG KI 6 KG KI 6G I 6 37 .
Đẳng thức xảy ra khi K là giao điểm của G I và Ox .
 Chọn ĐÚNG.
Câu 5: Một công ty cung cấp nước sạch thống kê lượng nước các hộ gia đình ở khu vực A 
tiêu thụ trong một tháng ở bảng sau:
 Lượng nước tiêu thụ m3 3;6 6;9 9;12 12;15 15;18 
 Số hộ gia đình 24 57 42 29 8
Các mệnh đề sau đúng hay sai?
a) Số trung bình của mẫu số liệu ghép nhóm đã cho là 9, 375 . 
b) Khoảng tứ phân vị của mẫu số liệu ghép nhóm đã cho xấp xỉ bằng 5,94 .
c) Mốt của mẫu số liệu là M O 8,0625 .
d) Mức sử dụng nước của các hộ gia đình ở khu A đồng đều hơn các hộ gia đình ở khu B . 
Biết rằng người ta tính được độ lệch chuẩn của mẫu số liệu thống kê lượng nước các hộ gia 
đình ở khu B sử dụng xấp xỉ bằng 2,75 .
Lời giải
Chọn a) Đúng | b) Sai | c) Đúng | d) Sai.
a) Đúng.
 Giá trị đại diện 4,5 7,5 10,5 13,5 16,5
 Lượng nước tiêu thụ m3 3;6 6;9 9;12 12;15 15;18 
 Số hộ gia đình 24 57 42 29 8
Cỡ mẫu là n 24 57 42 29 8 160
 4,5.24 7,5.57 10,5.42 13,5.29 16,5.8
Số trung bình của mẫu số liệu là x 9,375.
 160
Chọn ĐÚNG.
b) Gọi x1,..., x160 là lượng nước tiêu thụ của 160 hộ gia đình trên và giả sử rằng dãy này đã 
được sắp xếp theo thứ tự tăng dần.
 x x
Tứ phân vị thứ nhất của mẫu số liệu là 40 41 nên nhóm chứa tứ phân vị thứ nhất là nhóm 
 2
 160 
 24
 4 130
6;9 và ta có: Q1 6 3 .
 57 19
 x x
Tứ phân vị thứ ba của mẫu số liệu là 120 121 nên nhóm chứa tứ phân vị thứ ba là nhóm 
 2
 1603 
 24 57 
 4 165
9;12 và ta có: Q3 9 3 .
 42 14
 De-Thi.com Bộ sưu tập 54 đề thi Toán Lớp 12 chọn lọc dành cho học sinh giỏi - De-Thi.com
 165 130
Khoảng tứ phân vị của mẫu số liệu ghép nhóm đã cho là Q Q Q 4,94 .
 3 1 14 19
Chọn SAI.
c) Ta thấy 6;9 là nhóm chứa tần số lớn nhất nên
 57 24
Mốt của mẫu số liệu là: M 6 3 8,0625 .
 O 57 24 57 42 
Chọn ĐÚNG.
d) Phương sai của mẫu số liệu ghép nhóm của khu A là: 
 m x x 2 ... m x x 2
s2 1 1 k k 10,771875
A n
 Độ lệch chuẩn là: sA 3,282
Độ lệch chuẩn của mẫu số liệu ghép nhóm của khu A là: sA 3,282 . 
Vậy mức sử dụng nước của các hộ gia đình ở khu B đồng đều hơn các hộ gia đình ở khu A . 
Chọn SAI.
Câu 6: Một máy bay quân sự có 3 bộ phận A , B , C có tầm quan trọng khác nhau. Máy bay 
sẽ rơi khi có hoặc 1 viên đạn trúng vào A , hoặc 2 viên trúng vào B, hoặc 3 viên trúng vào C 
. Giả sử các bộ phận A , B , C lần lượt chiếm 15 % , 30% và 55% diện tích máy bay. Tính 
xác suất để máy bay rơi nếu:
a) Xác suất máy bay không rơi khi máy bay bị trúng 1 viên đạn là 0,45
b) Khi máy bay trúng 2 viên đạn thì xác suất để 1 viên trúng B và 1 viên trúng C là 0,85
c) Xác suất để máy bay rơi khi máy bay bị trúng 2 viên đạn là 0,3675
d) Xác suất để máy bay rơi khi máy bay bị trúng 3 viên đạn là 0,72775
* Lời giải
Sai – sai – đúng – đúng
a) Khi trúng 1 viên đạn để máy bay không rơi thì không được trúng A
 Phải trúng B hoặc C Xác suất là P 30% 55% 0,85. Mệnh đề sai
b) Xác suất 1 viên trúng B và 1 viên trúng C là: P 30%.55% 0,165. Mệnh đề sai
a) Gọi A là biến cố: “Có ít nhất 1 viên đạn trúng A”
 B là biến cố: “Cả 2 viên trúng B” A, B xung khắc
 A là biến cố: “Không có viên nào trúng A”
 2
 P( A) = 1 0,15 0,85 2 P (A) =1- 0,85 2
 P (B) = 0,3 2
Vậy xác suất máy bay rơi khi trúng hai viên đạn là:
 P = P(AB) = P(A) + P(B) = 1- 0,85 2 + (0,3) 2 = 0,3675Mệnh đề đúng
b) Khi máy bay trúng 3 viên đạn. Ta trường hợp máy bay không rơi:
 Máy bay không rơi nếu 1 trúng vao B và 2 viên trúng vào C. 
 2 2
Tương tự câu a, thì máy bay không rơi khi trúng 3 viên đạn là: P = C 3 .(0,55) .(0,3)
Vậy xác suất để máy bay rơi khi trúng ba viên đạn là:
 2 2
P (máy bay rơi) = 1 - C 3 (0,55) (0,3) = 0,72775. Mệnh đề đúng
 De-Thi.com