Bộ sưu tập 51 đề thi Toán Lớp 7 chọn lọc dành cho học sinh giỏi

 Bộ sưu tập 51 đề thi Toán Lớp 7 chọn lọc dành cho học sinh giỏi - De-Thi.com
 Từ (1), (2) suy ra = 퐹 hay 퐾 = 퐹 0,25
 Xét CDK và BEF có:
 K· DC F· EB 90d ; 
 DC EB (GT); 0,25
 퐾 = 퐹 (C/m trên)
 CDK BEF (g.c.g) 
 CK BF (hai cạnh tương ứng)
 Xét DIK và EIF có 
 I·DK I·EF 90d 0,25
 DK EF ( CDK BEF );
 E· FI K· CI (cùng phụ D· IK E· IF )
 Suy ra DIK EIF 0,25
 IK IF và IE = ID (hai cạnh tương ứng) 
 b
 Xét EIK và DIF có: 
 (1,0đ)
 IE = ID (chứng minh trên)
 IF = IK (chứng minh trên) 0,25
 E· IK D· IF (đối đỉnh)
 Suy ra EIK = DIF (c.g.c)
 Suy ra E· KI I·FD 0,25
 Suy ra EK // FD
 Ta có AHB AHC (cạnh huyền – cạnh góc vuông) 
 nên = 
 0,5
 Ta có OAB OAC (c.g.c) suy ra = (3)
 OIF OIK (hai cạnh góc vuông bằng nhau) OF OK , 
 c
 từ đó suy ra OBF OCK (c.c.c) suy ra 퐹 = 퐾 (4)
 (1,0đ)
 Từ (3) và (4) suyra = 퐹 = 900 OB  AB
 Xét ABO vuông tại B có OA là cạnh huyền
 0,5
 Nên OA > AB, mà OA = OH + AH 
 Suy ra AH > AB – OH
 Ta có 7x – 5y 2010 0; 2z – 3x 2020 0 và xy yz zx 2000 2030 0 0,25
 Nên 
 M 7x 5y 2010 2z 3x 2020 xy yz zx 2000 2030 2025 2025
5 0,25
 Dấu bằng xảy ra khi: 
 2010 2020 2030
 7x 5y 2z 3x xy yz zx 2000 0 0,25
 De-Thi.com Bộ sưu tập 51 đề thi Toán Lớp 7 chọn lọc dành cho học sinh giỏi - De-Thi.com
 x y
 7x – 5y 0 suy ra 7x 5y suy ra 
 5 7
 0,25
 z x
 suy ra 2z – 3x 0 suy ra 2z 3x suy ra 
 3 2
 xy yz zx 2000 0 suy ra xy yz zx 2000
 Từ đó tìm được x 20, y 28, z 30 hoặc
 x 20, y 28, z 30
 Vậy GTNN của M là 2025 x, y, z 20;28;30 
 hoặc x, y, z 20; 28; 30 
 De-Thi.com Bộ sưu tập 51 đề thi Toán Lớp 7 chọn lọc dành cho học sinh giỏi - De-Thi.com
 ĐỀ SỐ 6
PHÒNG GD&ĐT LÂM THAO KỲ THI HỌC SINH GIỎI LỚP 6,7,8 CẤP HUYỆN
 NĂM HỌC 2024 – 2025
 ĐỀ CHÍNH THỨC MÔN THI: TOÁN 7
 Thời gian: 90 phút không kể thời gian phát đề
 (Đề thi gồm 02 trang)
I. PHẦN TRẮC NGHIỆM KHÁCH QUAN: (6,0 điểm)
 2
Câu 1. Giá trị của x trong biểu thức: x 1 0,25 là 
 9 1 9 1 9 1 9 1
A. ; . B. ; . C. ; . D. ; .
 4 4 4 4 4 4 4 4
Câu 2. Cho x, y là các số thỏa mãn (x 3)2024 | 2x 3y 9 | 0 . 
Giá trị của biểu thức A 3x 4y là
A. 3. B. 5. C. 9. D. 13.
Câu 3. Biết 50 người thợ may xong một lượng quần áo trong 12 ngày. Hỏi 30 người thợ may 
hết lượng quần áo đó trong bao nhiêu ngày? (Giả sử năng suất làm việc của mỗi người thợ là 
như nhau).
A. 10 ngày. B. 15 ngày. C. 20 ngày. D. 25 ngày.
 x y y z 2x 3y 4z
Câu 4. Cho ; . Giá trị của biểu thức M là
 3 4 5 6 3x 4y 5z
 168 186 168 186
A. . B. . C. . D. .
 254 254 245 245
Câu 5. Cho đa thức F x thỏa mãn điều kiện F x1.x2 F x1 .F x2 và F 2 5. Khi đó 
F 16 bằng
A. 5. B. 25. C. 125. D. 625.
Câu 6. Cho đa thức f(x) = x2 – 3x + a. Giá trị của a để đa thức f(x) chia hết cho đa thức x-2 
là
A. – 2. B. – 10. C. 2. D. 10.
Câu 7. Cho hình vẽ, biết AB // EF và ·ABC 600 , B· CD 1300 ,C· DE 1400 . Số đo D· EF bằng
A. 1050. B. 1100. C. 1150. D. 1200.
 De-Thi.com Bộ sưu tập 51 đề thi Toán Lớp 7 chọn lọc dành cho học sinh giỏi - De-Thi.com
Câu 8. Cho tam giác ABC. Vẽ đoạn thẳng AD vuông góc với AB (D và C nằm khác phía 
với AB), AD = AB. Vẽ đoạn thẳng AE vuông góc với AC (E và B nằm khác phía với AC), 
AE = AC. Biết rằng DE = BC. Khi đó B· AC bằng
A. 900. B. 600. C. 450 D. 1200.
Câu 9. Cho tam giác ABC cân tại A, có = 1200 ; BC = 6cm. Đường vuông góc với AB tại 
A cắt BC ở D. Độ dài đoạn thẳng BD bằng
A. 2cm. B. 4cm. C. 5cm. D. 6cm.
Câu 10. Cho tam giác ABC có ba đường phân giác cắt nhau tại I. Khẳng định nào sau đây 
đúng?
 µA µA
A. B· IC 90  B. B· IC 90 
 2 2
 Bµ Cµ
C. B· IC 90  D. B· IC 90 
 2 2
Câu 11. Cho tam giác ABC vuông tại A, có trọng tâm G. Biết BC = 6cm. Khi đó AG bằng
A. 1,5 cm. B. 2cm. C. 1cm. D. 3cm.
Câu 12. Gieo ngẫu nhiên một con xúc xắc một lần. Gọi (với a, b nguyên tố cùng nhau) là 
xác suất của biến cố “Mặt xuất hiện của xúc xắc có số chấm là số chia hết cho 2”. Giá trị của 
biểu thức 2025a + 4b – 4.
A. 2029. B. 4029. C. 2024. D. 2025.
II. PHẦN TỰ LUẬN: (14,0 điểm)
Câu 1. (3,0 điểm)
1.1. Chứng minh rằng A = 75 (42005 + 42024 + + 42 + 4 + 1) + 25 chia hết cho 100.
1.2. Tìm các số nguyên tố p thỏa mãn 2p + p2 là số nguyên tố.
Câu 2. (4,0 điểm)
 2a b c d a 2b c d a b 2c d a b c 2d
2.1. Cho dãy tỉ số 
 a b c d
(với a,b,c,d 0 ). 
 a b b c c d d a
Chứng minh rằng biểu thức Q có giá trị là số nguyên.
 c d d a a b b c
2.2. Cho đa thức f x ax3 bx2 cx d với a,b,c,d ¢ . Biết f (x) ⋮ 5 với mọi x ¢ . Chứng 
minh rằng a, b, c, d đều chia hết cho 5.
Câu 3. (5,0 điểm) Cho tam giác ABC vuông cân tại A. Gọi M là trung điểm BC. Lấy điểm 
D trên đoạn thẳng AB (D khác A và B), trên tia đối của tia CA lấy điểm K sao cho CK = 
BD; DK cắt BC tại I. Kẻ DP vuông góc với BC tại P và KQ vuông góc với BC tại Q.
a) Chứng minh rằng: BDP CKQ và I là trung điểm DK.
b) Đường vuông góc với DK tại I cắt AM tại S. Tính góc S·CK ?
 De-Thi.com Bộ sưu tập 51 đề thi Toán Lớp 7 chọn lọc dành cho học sinh giỏi - De-Thi.com
c) Đường thẳng vuông góc với MD tại M cắt AC tại E. 
Chứng minh rằng: MD ME AD AE .
Câu 4. (2,0 điểm)
 2 14
Tìm các cặp số nguyên x; y thỏa mãn x y 2 7 
 y 1 y 3
 ----------HẾT----------
 De-Thi.com Bộ sưu tập 51 đề thi Toán Lớp 7 chọn lọc dành cho học sinh giỏi - De-Thi.com
 ĐÁP ÁN
I. PHẦN TRẮC NGHIỆM KHÁCH QUAN: (6,0 điểm) Mỗi câu đúng được 0,5 điểm
 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12
 A B C D D C B A B A B A
II. PHẦN TỰ LUẬN: (14,0 điểm)
Câu 1. (3,0 điểm)
1.1. Chứng minh rằng A 75 42025 42024 ... 42 4 1 25 chia hết cho 100 .
1.2. Tìm các số nguyên tố p thỏa mãn 2 p p2 là số nguyên tố.
1.1 (1,5 điểm). Chứng minh rằng A 75 42025 42024 ... 42 4 1 25 chia hết 
 1,5
cho 100 .
Đặt B 42025 42024 ... 42 4 1
Ta có 4B 42026 42025 ... 43 42 4 0,75
 42026 1
Lấy 4B B 42026 1 B thay vào biểu thức A ta được
 3
 42026 1 0,75
A 75. 25 25 42026 1 25 25.42026 100.42025 100
 3
1.2 (1,5 điểm). Tìm các số nguyên tố p thỏa mãn 2 p p2 là số nguyên tố. 1,5
 p 2 2 2
Với p 2 2 p 2 2 8 là hợp số => loại 0,5
Với p 3 2 p p2 23 32 17 là số nguyên tố => thỏa mãn
Với p 3, vì p là số nguyên tố nên p lẻ, do đó p 2k 1 k ¥ ,k 1 0,25
 p 2k 1
 2 2  2 mod3 
Ta có: 0,25
 2
 p 1 mod3 
 2 p p2  0 mod3 2 p p2 3 và lớn hơn 3 nên 2 p p2 là hợp số => loại 0,25
Vậy p 3 0,25
Câu 2. (4,0 điểm)
 2a b c d a 2b c d a b 2c d a b c 2d
2.1. Cho dãy tỉ số 
 a b c d
(với a,b,c,d 0 ).
 a b b c c d d a
Chứng minh rằng biểu thức Q có giá trị là số nguyên.
 c d d a a b b c
2.2. Cho đa thức f x ax3 bx2 cx d với a,b,c,d ¢ . Biết f x 5 với mọi x ¢ . 
Chứng minh rằng a,b,c,d đều chia hết cho 5.
 De-Thi.com Bộ sưu tập 51 đề thi Toán Lớp 7 chọn lọc dành cho học sinh giỏi - De-Thi.com
 2a b c d a 2b c d a b 2c d a b c 2d
2.1. Cho dãy tỉ số 
 a b c d
(với a,b,c,d 0 ). 
 2,0
Chứng minh rằng biểu thức: 
 a b b c c d d a
Q có giá trị là số nguyên.
 c d d a a b b c
 2a b c d a 2b c d a b 2c d a b c 2d
Từ suy ra
 a b c d 0,5
2a b c d a 2b c d a b 2c d a b c 2d
 1 1 1 1
 a b c d
a b c d a b c d a b c d a b c d
 k
 a b c d
- Nếu a b c d 0 a b c d
Khi đó Q 1 1 1 1 4 ¢ 0,75
 a b c d 
 b c d a 
- Nếu a b c d 0 
 c d a b 
 d a b c 
Khi đó Q 1 1 1 1 4 ¢ 0,75
Vậy giá trị của biểu thức Q là số nguyên
2.2. Cho đa thức f x ax3 bx2 cx d với a,b,c,d ¢ . Biết f x 5 với mọi 
 2,0
x ¢ . Chứng minh rằng a,b,c,d đều chia hết cho 5.
Vì f x 5 với mọi x ¢ nên
Với x 0 f 0 d5 0,25
 0,25
Với x 1 f 1 a b c d5 mà d5 a b c5 (1)
Với x 1 f 1 a b c d5 mà d5 a b c5 (2) 0,25
Từ (1) và (2) say ra 2b5 mà 2,5 1 b5 0,25
Với x 2 f 2 8a 4b 2c d5 mà b,d5 8a 2c5 (3)
Từ (1) suy ra a c5 2a 2c5 (4) 0,25
Từ (3) và (4) suy ra 6a5, mà 5,6 1 a5 c5 0,25
 0,25
Vậy a,b,c,d đều chia hết cho 5.
 0,25
 De-Thi.com Bộ sưu tập 51 đề thi Toán Lớp 7 chọn lọc dành cho học sinh giỏi - De-Thi.com
Câu 3. (5,0 điểm)
Cho tam giác ABC vuông cân tại A. Gọi M là trung điểm BC. Lấy điểm D trên đoạn thẳng 
AB (D khác A và B), trên tia đối của tia CA lấy điểm K sao cho CK = BD; DK cắt BC tại I. 
Kẻ DP vuông góc với BC tại P và KQ vuông góc với BC tại Q.
a) Chứng minh rằng: BDP CKQ và I là trung điểm DK.
b) Đường vuông góc với DK tại I cắt AM tại S. Tính S·CK ?
c) Đường thẳng vuông góc với MD tại M cắt AC tại E. Chứng minh rằng: 
MD ME AD AE.
Vẽ hình, viết GT, KL
 B S
 1 P
 D
 M 0,25
 I
 1
 2 1
 A E C 2 K
 Q
a) Chứng minh rằng: BDP CKQ và I là trung điểm DK .
 µ µ 0 ¶ µ
Vì tam giác ABC vuông cân tại A nên B1 C1 45 , mà C2 C1 (2 góc đối đỉnh) 
 µ ¶
nên B1 C2
Xét tam giác BDP và tam giác CKQ, ta có
 1,0
BD = CK (gt)
B· PD C· QK 900
µ ¶
B1 C2
Suy ra BDP CKQ (CH-GN) 
=> DP = KQ (cạnh tương ứng)
Ta có DP // KQ (cùng vuông góc với BC) => P· DI Q· KI
Xét tam giác DPI và tam giác KQI, ta có
DP = KQ (cmt)
 0,75
D· PI K· QI 900
P· DI Q· KI cmt 
Suy ra DPI KQI (g.c.g) => DI = KI (cạnh tương ứng)
=> DI = KI (cạnh tương ứng) => I là trung điểm của DK
b) Đường vuông góc với DK tại I cắt AM tại S. Tính S·CK ? 1,0
Vì AM là trung tuyến trong tam giác cân nên AM cũng là phân giác của góc A
 De-Thi.com Bộ sưu tập 51 đề thi Toán Lớp 7 chọn lọc dành cho học sinh giỏi - De-Thi.com
Chứng minh ABS ACS c.g.c ·ABS ·ACS 1 và SB = SC
Vì S thuộc trung trực của DK => SD = SK
 1,0
Chứng minh SBD SCK c.c.c S· BD S·CK hay ·ABS S·CK 2 
Từ (1) và (2) suy ra ·ACS S·CK ,mà ·ACS S·CK 1800 ·ACS S·CK 900
c) Đường thẳng vuông góc với MD tại M cắt AC tại E. 
 1,0
Chứng minh rằng: MD ME AD AE.
 B S
 1 P
 D 0,25
 M
 H F
 I
 1
 2 1
 A E C 2 K
 Q 0,25
Gọi giao điểm của DM với SC là F. 
Chứng minh MDB = MFC MD = MF M là trung điểm của DF
Từ F kẻ FH  AB tại H. 
 0,25
Chứng minh FAH = AFC FH = AC
Do AMD = CME AD = CE AD + AE = AC.
Do MD = ME nên MD + ME = 2MD = DF
Mặt khác DF HF DF AC hay MD + ME AD + AE
Dấu “=” khi MD  AB.
 0,25
 2 14
Câu 4. (2,0 điểm). Tìm các cặp số nguyên x; y thỏa mãn x y 2 7 
 y 1 y 3
Vì x y 2 2 0 x y 2 2 7 7 
 14 14
và y 1 y 3 y 1 3 y y 1 3 y 2 7
 y 1 y 3 2
 1,0
dấu “=” xảy ra khi y 1 3 y 0 1 y 3
 x y 2 2 7 7
 x y 2 0 x 2 y
nên theo bài ra ta có: 14 
 7 1 y 3 y 1;2;3
 y 1 y 3
(do x, y nguyên)
 1,0
Vậy x; y 1;1 ; 0;2 ; 1;3 
 De-Thi.com Bộ sưu tập 51 đề thi Toán Lớp 7 chọn lọc dành cho học sinh giỏi - De-Thi.com
 ĐỀ SỐ 7
 UBND HUYỆN GIA BÌNH ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI CẤP HUYỆN
PHÒNG GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO NĂM HỌC 2024 -2025
 ‾‾‾‾‾‾‾‾‾‾‾‾‾‾‾‾‾‾‾ Môn: Toán – Lớp 7
 (Đề thi có 01 trang) Thời gian: 120 phút (không kể thời gian giao đề)
Câu 1: (4,0 điểm)
1) Tính giá trị của các biểu thức sau bằng cách hợp lý:
 æ ö æ ö
 ç- 2 3÷ 4 ç- 1 11÷ 4
a) A = ç + ÷: + ç + ÷: .
 èç 3 7ø÷ 5 èç 3 7 ø÷ 5
 7
 - 0, 875 + 0,7
 64
b) B = - 6
 25 0,(3)- 0,25 + 0,2
 1 1 1 1
2) Cho C = + + .... + . So sánh C với . 
 11 112 11100 10
Câu 2: (5,0 điểm)
1) Tìm x biết:
 1 21 x - 4 x - 3 x - 2 x - 1
a) 3 : 2x - 1 = b) + = +
 2 22 2022 2023 2024 2025
2) Một trường THCS có ba lớp 7, tổng số học sinh hai lớp 7A, 7B là 85 em. Nếu chuyển 10 
học sinh từ lớp 7A sang lớp 7C thì số học sinh ba lớp 7A, 7B, 7C tỉ lệ thuận với 7 ; 8; 9. Hỏi 
lúc đầu mỗi lớp có bao nhiêu học sinh?
Câu 3: (3,0 điểm)
1) Chứng minh rằng nếu p là số nguyên tố lớn hơn 3 thì (p + 1) (p - 1) chia hết cho 24.
2) Cho n là số tự nhiên có hai chữ số, Tìm n biết n + 4 và 2n đều là các số chính phương.
Câu 4: (6,0 điểm) 
Cho △ ABC vuông tại A (AB < AC). M là trung điểm của BC. Lấy D thuộc tia đối của tia 
MA sao cho MD = MA. Kẻ BI vuông góc với AD tại I, CK vuông góc với AD tại K.
a) Chứng minh BI = CK.
b) Kẻ AH vuông góc với BC tại H, MN vuông góc với BD tại N. Chứng minh các đường 
thẳng CK, AH, MN đồng quy.
c) Chứng minh BC – AB > AC - AH.
Câu 5: (2,0 điểm)
 2 2
a) Tìm các số nguyên x,y thỏa mãn x - 2024 + x - 2025 + 3(x - y) = 2(x - y) + 1.
 De-Thi.com