Bộ sưu tập 39 đề thi Toán Lớp 8 chọn lọc dành cho học sinh giỏi

 Bộ sưu tập 39 đề thi Toỏn Lớp 8 chọn lọc dành cho học sinh giỏi - De-Thi.com
 ĐÁP ÁN
 Hướng dẫn chấm Điểm
Bài 1. (5,0 điểm)
1) Phõn tớch đa thức x3 7x 6 thành nhõn tử.
2) Tỡm cặp số (x;y) thỏa món đẳng thức: 2x2 2xy y2 2x 1 0 .
 2x 9 x 3 2x 4
3) Cho biểu thức: A với x 2, x 3.
 x2 5x 6 x 2 3 x
Rỳt gọn biểu thức A và tỡm cỏc giỏ trị nguyờn của x để A nhận giỏ trị nguyờn.
 3 3
 x 7x 6 (x x) 6(x 1) x(x 1)(x 1) 6(x 1) (x 1)x(x 1) 6 0,5
 (x 1)(x2 x 6) (x 1)(x2 4 x 2) 0,5
1) (2đ)
 (x 1) (x 2)(x 2) (x 2) 0,5
 (x 1)(x 2)(x 3) 0,5
 2x2 2xy y2 2x 1 0 x2 2xy y2 x2 2x 1 0 0,5
 2 2
 (x - y) + (x - 1) = 0(*) 0,25
2)(1,5đ) Vỡ (x - y)2 ³ 0 " x, y (x - 1)2 ³ 0 " x
 0,25
 Do đú (*)(x - y)2 = (x - 1)2 = 0 Û x = y = 1
 Vậy (x;y)= (1;1) 0,5
 ĐKXĐ: x 2,x 3
 2x 9 x 3 2x 4
 A 1,0
 x 3 x 2 x 2 x 3
 x2 2x 8 x 4 x 2 x 4
 x 3 x 2 x 3 x 2 x 3
 3) 
 x 4
 Vậy A với x 2,x 3 0,25
(1,5đ) x 3
 x 4 7
 Ta cú: A 1 
 x 3 x 3
 Để A Â thỡ x 3 U(7) 1; 7 x 4; 2; 4;10 0,25
 Kết hợp với ĐKXĐ ta được x 4; 4;10
Bài 2. (4,0 điểm) 
 2x 5 2x 2 3
1) Giải phương trỡnh: .
 x2 5x 4 (x 2)(x 4) 2
2) Đa thức f (x) khi chia cho x 1 dư 1 và chia cho x2 2 dư là 2x . Tỡm đa thức dư khi f (x) 
chia cho (x 1)(x2 2)
 De-Thi.com Bộ sưu tập 39 đề thi Toỏn Lớp 8 chọn lọc dành cho học sinh giỏi - De-Thi.com
 ĐK: x ạ - 4,x ạ - 1,x ạ 2
 Phương trỡnh đó cho tương đương với phương trỡnh: 0,25
 2x 5 2x 2 3
 (x 1)(x 4) (x 2)(x 4) 2 0,25
 1 1 1 1 3
 0,5
 x 1 x 4 x 2 x 4 2
 1 1 3
 1) 2 x 2 x 1 3(x 1)(x 2) 0,5
 x 1 x 2 2
(2,0 đ)
 3x2 3x 0 3x(x 1) 0 x 0 (thỏa món) hoặc x = 1(thỏa món)
 0,5
 Vậy tập nghiệm của phương trỡnh là {0; 1}
 2 2
 Đa thức (x + 1)(x + 2) bậc là 3 nờn dư của f(x) chia cho (x + 1)(x + 2) cú 0,25
 dạng ax2 + bx + c . Do đú f (x) = (x + 1)(x2 + 2)g(x) + ax2 + bx + c 
 +) f (x) chia cho x + 1dư 1 ị f (- 1) = 1 Û a - b + c = 1 (1) 0,25
 +) f (x) = (x + 1)(x2 + 2)g(x) + ax2 + bx + c
 2) 0,25
 = (x + 1)(x2 + 2)g(x) + ax2 + 2a - 2a + bx + c
 (2đ) 2
 = (x + 2)[(x + 1)g(x) + a]+ bx - 2a + c 0,25
 f (x) chia cho x2 + 2 dư 2x ị bx - 2a + c = 2x ị b = 2và - 2a + c = 0 0,25
 Kết hợp với (1) ta được a = 1,b = c = 2 . 0,5
 2 0,25
 Vậy đa thức dư là x + 2x + 2.
Bài 3 (3,5 điểm) 
1) Tỡm tất cả cỏc cặp số nguyờn (x;y) thỏa món đẳng thức: x2y x 2y 3.
2) Cỏc số x, y,z khỏc 0 thỏa món x y z 1 và 
 1 1 1 1 1 1 
x y z 2.
 y z z x x y 
Tớnh giỏ trị của biểu thức: T x2023 y2023 z2023 .
 x 3 0,5
 x2y x 2y 3 y x2 2 x 3 y ( vỡ x2 2 0 x)
 x2 2
 x 3 x 3 x 3 x2 9 11
 y nguyờn nguyờn 1 nguyờn
 x2 2 x2 2 x2 2 x2 2 0,5
 1) 11
 Điều này tương đương với nguyờn Û 11Mx2 + 2 mà 
 (2đ) x2 2
 x2 + 2 ³ 2 ị x2 + 2 = 11 Û x = ± 3 0,5
 Với x = - 3 ị y = 0 (thỏa món)
 De-Thi.com Bộ sưu tập 39 đề thi Toỏn Lớp 8 chọn lọc dành cho học sinh giỏi - De-Thi.com
 6 0,25
 Với x = 3 ị y = (loại)
 11
 Vậy cặp số nguyờn cần tỡm là (-3;0) 0,25
 1 1 1 1 1 1 
 x y z 2
 y z z x x y 0,5
 1 1 x 1 1 y 1 1 z
 x y z 1
 y z x z x y x y z
 ổ1 1 1ử ổ1 1 1ử ổ1 1 1ử
 xỗ + + ữ+ yỗ + + ữ+ zỗ + + ữ= 1
 ốỗy z xứữ ốỗz x yứữ ốỗx y zứữ
 ổ1 1 1ử 1 1 1 1
 Û (x + y + z)ỗ + + ữ= 1 Û + + =
 ốỗx y zứữ x y z x + y + z
 0,5
 1 1 1 1 y + x x + y
 Û + + - = 0 Û + = 0
 x y z x + y + z xy z(x + y + z)
 2) ổ1 1 ử 2
 Û (x + y)ỗ + ữ= 0 ị (x + y)(xz + zy + z + xy)= 0
 ( 1,5) ốỗxy z(x + y + z)ứữ
 Û (x + y)(y + z)(z + x) = 0
 +) x + y = 0 thay vào x y z 1 z 1 T 1.
 Tương tự y + z = 0,z + x = 0 ta cú T 1. 0,5
 Vậy T 1.
Bài 3 (4,0 điểm) 
Cho tam giỏc ABC vuụng tại A, đường cao AH. Từ H kẻ HE, HF theo thứ tự vuụng gúc với 
AB, AC (E AB,F AC)
1) Chứng minh: AH2 AE.AB và tam giỏc AEF đồng dạng với tam giỏc ACB.
2) Phõn giỏc của à HB , à HC , Bã AC theo thứ tự cắt AB, AC, BC theo thứ tự tại M, N và D. 
Chứng minh: DM song song với AC và tứ giỏc AMDN là hỡnh vuụng .
3) Trờn đoạn HC lấy điểm I sao cho Bã FH Hã FI. Chứng minh ba điểm A, I và trung điểm của 
HF thẳng hàng.
 De-Thi.com Bộ sưu tập 39 đề thi Toỏn Lớp 8 chọn lọc dành cho học sinh giỏi - De-Thi.com
 A
 F
 N
 M
 E
 C
 B H D
 0
 Hà Eà ( 90 )
1) +) Xột AHB và AEH cú AHB∽ AEH (trường hợp 0,5
 à
 A (chung)
 đồng dạng thứ 3) 0,25
 AH AB
 suy ra AH2 AE.AB (1)
 AE AH 0,25
 +) Chứng minh tương tự ta cú AH2 AF.AC (2)
 AE AF 0,25
 Từ (1) và (2) suy ra AE.AB AF.AC 
 AC AB
 AE AF 0,25
 Xột AEF và ACB cú và À chung AEF∽ ACB(trường hợp 
 AC AB
 đồng dạng thứ 2) đpcm.
 BM BH BD AB
 +) Theo tớnh chất đường phõn giỏc ta cú: , (3)
 MA HA BC AC 0,25
 Hai tam giỏc HBA và ABC đồng dạng với nhau vỡ Bà chung, Hà À suy ra 
 0,25
 HB AB
 (4)
 HA AC
 0,25
 BM BD
2) Từ (3) và (4) suy ra DM∥ AC .
 BA DC
 0,25
 +) Ta cú DM∥ AC DM  MA Dã MA 900
 ã 0 ã ã ã 0
 Tương tự DNA 90 . Tự giỏc AMDN cú DNA NAM AMN 90 nờn tứ 0,25
 giỏc AMDN là hỡnh chữ nhật.
 Hỡnh chữ nhật AMDN cú AD là phõn giỏc của Mã AD nờn tứ giỏc AMDN là 0,25
 hỡnh vuụng (đpcm).
 De-Thi.com Bộ sưu tập 39 đề thi Toỏn Lớp 8 chọn lọc dành cho học sinh giỏi - De-Thi.com
 K
 A
 F
 C
 B H I
 +) Trờn tia đối của tia AC lấy điểm K sao cho AK AF.
 BH AF AK
 Vỡ HF∥ AB . 0,5
 BC AC AC
 3)
 +) Bã FH Hã FInờn FH là tia phõn giỏc của Bã FI , mắt khỏc HF  AC FC là 
 HI CI ổ FI ử BH HI AK HI 0,25
 phõn giỏc ngoài của DBFI ị = ỗ= ữị = ị = suy 
 HB CBốỗ FBứữ BC CI AC CI
 ra AI song song với KH.
 ùỡ AK = AF
 +) DFHK cú ớù ị AI đi qua trung điểm của HF hay ba điểm A, I 
 ợù AI∥ KH 0,25
 và trung điểm của HF thẳng hàng.
Bài 5 (2,0 điểm) Cho tam giỏc nhọn ABC, cỏc đường cao AD, BE, CF. Chứng minh rằng 
nếu S AFE S FBD S DCE thỡ tam giỏc ABC là tam giỏc đều.
 A
 F E
 B D C
 DAFC∽DAEB vỡ Àchung và ÃFC = ÃEB (= 900 ) suy ra 0,5
 AF AC AF AE
 = ị =
 AE AB AC AB 0,25
 ỡ à
 ù A chung
 ù 0,5
 Xột D AFE và D AFE ớ AF AE ị DAFE∽DACB
 ù =
 ù AC AB
 ợù 0,25
 S ổAEử2 S ổDBử2
 DAFE = ỗ ữ , tương tự DDFB = ỗ ữ
 ị ỗ ữ ị ỗ ữ
 SACB ốABứ SACB ốABứ 0,25
 De-Thi.com Bộ sưu tập 39 đề thi Toỏn Lớp 8 chọn lọc dành cho học sinh giỏi - De-Thi.com
 ổ ử2 ổ ử2
 ỗAEữ ỗBDữ
 Vỡ SDAEF = SDBFE ị ỗ ữ = ỗ ữ ị AE = BD
 ốỗABứữ ốỗABứữ 0,25
 Xột ị DAEB = DBDA (cạnh huyền gúc nhọn)ị BãAC = ÃBC (1)
 Tương tự BãAC = ÃCB (2)
 Từ (1) và (2) suy ra ÃBC = BãAC = ÃCB ị DABC là tam giỏc đều (đpcm)
Bài 6 (1,5 điểm) Chứng minh rằng nếu cỏc số dương x, y,z thỏa món điều kiện:
 x3 y3 z3
 3. Thỡ: x y z 9.
 x2 xy y2 y2 zy z2 z2 zx x2
 x3 2x y 0,25
 Ta chứng minh, với mọi x, y ta cú: (1)
 x2 xy y2 3
 Û 3x3 ³ (2x - y)(x 2 + xy + y2 ) Û 3x3 ³ 2x3 + 2x 2 y + 2xy2 - yx 2 - xy2 - y3
 x3 + y3 - x 2 y - xy2 ³ 0 Û x3 - x 2 y + y3 - xy2 ³ 0
 0,25
 x2 (x - y) + y2 (y- x) ³ 0 Û (x - y)(x2 - y2)³ 0 Û (x - y)2 (x + y) ³ 0 đỳng 
 với mọi x, y dương.
 0,25
 y3 2y z z3 2z x
 Tương tự ta cú: (2); (3)
 y2 zy z2 3 z2 zx x2 3
 x3 y3 z3 x y z
 Từ (1), (2), (3) suy ra: 2 2 2 2 2 2 
 x xy y y zy z z zx x 3 0,25
 x3 y3 z3 x y z
 Mà 3 3
 x2 xy y2 y2 zy z2 z2 zx x2 3
 x y z 9(đpcm). Đẳng thức xảy ra Û x = y = z = 3 0,25
 Đẳng thức xảy ra Û x = y = z = 3
 0,25
 De-Thi.com Bộ sưu tập 39 đề thi Toỏn Lớp 8 chọn lọc dành cho học sinh giỏi - De-Thi.com
 ĐỀ SỐ 7
 UBND HUYỆN VĨNH BẢO ĐỀ GIAO LƯU HỌC SINH GIỎI HUYỆN
 PHềNG GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO NĂM HỌC 2022–2023
 (Đề cú 01 trang) MễN: TOÁN 8
 (Thời gian làm bài 150 phỳt) 
Bài 1. (3,0 điểm) 
a) Phõn tớch đa thức thành nhõn tử: (x2 + 2x)2 + 2(x2 +2x) + 1.
b) Xỏc định đa thức P(x) , biết P(x) chia cho đa thức x 1 dư 4, P(x) chia cho đa thức x 2 
dư 6. P(x) chia cho đa thức x2 3x 2 được thương là x 3 và cũn dư.
 1 1 1
c) Cho x, y, z đụi một khỏc nhau và 0 .
 x y z
 yz xz xy
Tớnh giỏ trị của biểu thức: A .
 x2 2yz y2 2xz z2 2xy
Bài 2. (2,0 điểm)
a) Giải phương trỡnh sau: (x 7)(x 5)(x 4)(x 2) 72.
b) Cho ba số dương a, b, c thỏa món a + b + 1. Tỡm giỏ trị nhỏ nhất của biểu thức: 
 1 1 1
M .
 a 4b 16c
c) Cho a, b, c, d là cỏc số nguyờn thỏa món 5(a3 + b3) = 13(c3 + d3). Chứng minh rằng: a + b 
+ c + d chia hết cho 6.
Bài 3. (2,0 điểm) Cho hỡnh chữ nhật ABCD. Vẽ BH vuụng gúc với AC (H ∈ AC). Gọi M là 
trung điểm của AH, K là trung điểm của CD. Chứng minh rằng: BM ⊥ MK.
Bài 4. (2,0 điểm) Cho tam giỏc ABC nhọn AB < AC, ba đường cao AD, BE, CF của tam 
giỏc ABC cắt nhau tại H.
a/ Chứng minh:Tam giỏc AEF đồng dạng với tam giỏc ABC và FC là tia phõn giỏc của gúc 
EFD.
b/ Hai đường thẳng EF và CB cắt nhau tại M. Từ B kẻ đường thẳng song song với AC cắt 
AM tại I; cắt AD tại K. Chứng minh rằng: B là trung điểm của IK.
Bài 5. (1,0 điểm) Cho 2023 số tự nhiờn bất kỳ: a1 ; a2 ;... ; a2023. Chứng minh rằng tồn tại một 
số hoặc tổng một số cỏc số trong dóy trờn chia hết cho 2023.
 ----------HẾT----------
 De-Thi.com Bộ sưu tập 39 đề thi Toỏn Lớp 8 chọn lọc dành cho học sinh giỏi - De-Thi.com
 ĐÁP ÁN
Cõu í - Nội dung Điểm
 a) Ta cú: 0,5
 (x2 + 2x)2 + 2(x2 + 2x) + 1
 = (x2 + 2x + 1)2 0,5
 = (x + 1)4
 b) Do đa thức chia x2 + 3x + 2 cú bậc 2 nờn đa thức dư cú dạng: ax + b với a, 
 b thuộc R 0,25
 P(x) = (x2 + 3x + 2)(x + 3) + ax + b
 Theo định lớ Bơzu P(x) chia cho x 1 dư 4 P 1 4 a b 4 1 0,25
 1 P(x) chia cho x 2 dư 6 P 2 6 2a b 6 2 
 0,25
 Từ 1 b 4 2 thay vào 2 ta được 2a 4 a 6 a 2
 Thay a 2 ta được b 2 0,25
 P(x) x2 3x 2 x 3 2x 2 x3 6x2 9x 8
 Vậy đa thức P x x3 6x2 9x 8
 yz xz xy
 c/ Đặt A= 
 x2 2yz y2 2xz z2 2xy
 0,25
 Ta cú: xy yz zx 0
 xy xz yz; xz yz xy; xy yz xz
 0,25
 yz xz xy
 Khi đú A= 
 x2 2yz y2 2xz z2 2xy
 0,25
 yz xz xy
 (x y)(x z) (x y)(y z) (x z)(y z)
 (x y)(x z)(y z) 0,25
 1
 (x y)(x z)(y z)
 a) 
 (x 7)(x 5)(x 4)(x 2) 72
 2 2
 (x 9x 14)(x 9x 20) 72 0,25
 Đặt x2 9x 17 t
 Phương trỡnh thành: 
 (t 3)(t 3) 72 0,25
 2
 2 t 9
 t 81 
 t 9
 +) Với t 9 ta cú: 0,25
 De-Thi.com Bộ sưu tập 39 đề thi Toỏn Lớp 8 chọn lọc dành cho học sinh giỏi - De-Thi.com
 x2 9x 17 9
 2 x 1
 x 9x 8 0 
 x 8
+) Với t 9 ta cú:
 x2 9x 17 9
 x2 9x 26 0
 2
 2 9 23
(Vụ nghiệm vỡ x 9x 26 x 0 với mọi x)
 2 4
Vậy tập nghiệm của phương trỡnh là S {1;8}
 1 1 1 1 1 1 
b) M a b c (do a b c 1)
 a 4b 16c a 4b 16c 
 a b a c c b 21
 M 
 4b a 16c a 4b 16c 16
 a b
Áp dụng BĐT Cụ si với hai số dương và ta được:
 4b a
 a b
 1 dấu bằng xảy ra a 2b
 4b a 0,25
Tương tự: 
 a c 1
 dấu bằng xảy ra a 4c
 16c a 2
 c b 1
 dấu bằng xảy ra b 2c
 4b 16c 4
Khi đú: 
 a b a c c b 21 1 1 21
 M 1 0,25
 4b a 16c a 4b 16c 16 2 4 16
 a b a c c b 21 49
 4b a 16c a 4b 16c 16 16
 1
 b a
 2
 a 2b 
Dấu “=” xảy ra 1
 a 4c c a
 4
 b 2c 
 b 2c
 a b c 1
 1 1
 a a a 1
 2 4
 7
 a 1
 4
 De-Thi.com Bộ sưu tập 39 đề thi Toỏn Lớp 8 chọn lọc dành cho học sinh giỏi - De-Thi.com
 4
 a (thỏa món)
 7
 2 1 0,25
 b ;c (thỏa món)
 7 7
 4
 a 
 7
 49 2
 Vậy min M b 
 16 7
 1
 c 
 7
 c/ Cho a, b, c, d là cỏc số nguyờn thỏa món 5(a3 + b3) = 13(c3 + d3)
 Chứng minh rằng a + b + c + d chia hết cho 6
 Ta cú 5(a3 + b3) = 13(c3 + d3) 0,25
  . a3 + b3 + c3 + d3 = 6(a3 + b3 – 2c3 – 2d3)
 Vỡ 6 chia hết cho 6 nờn 6(a3 + b3 – 2c3 – 2d3) chia hết cho 6 
 => a3 + b3 + c3 + d3 chia hết cho 6
 Xột hiệu (a3 + b3 + c3 + d3) – (a + b + c + d)
 = (a3 – a)+ (b3 – b ) + (c3 – c) + (d3 – d) 0,25
 Chứng minh a3 – a; b3 – b; c3 – c chia hết cho 6
 => a + b + c + d chia hết cho 6
 A B
 0,25
 O
 M
 0,25
 H
 D K C
 0,25
 Gọi O là trung điểm của đoạn thẳng BH
 Ta cú M, O lần lượt là trung điểm của AH, BH nờn: MO là đường trung bỡnh 0,25
3 của ∆HAB ⟹ MO = 1 AB, MO // AB
 2
 0,25
 Mà AB = CD, AB // CD, Vỡ K là trung điểm của CD suy ra KC = 1 CD
 2
 0,25
 Do đú: MO = KC, MO // KC, suy ra tứ giỏc MOKC là hỡnh bỡnh hành.
 Từ đú cú: CO // MK
 0,25
 Ta cú: MO // KC, KC ⊥ CB ⟹ MO ⊥ CB
 Xột ∆MBC cú MO ⊥ CB, BH ⊥ MC nờn O là trực tõm của ∆MBC 
 0,25
 ⟹ CO ⊥ BM
 Ta cú: CO ⊥ BM và CO // MK nờn BM ⊥ MK (đpcm)
 De-Thi.com