Bộ sưu tập 39 đề thi Toán Lớp 11 chọn lọc dành cho học sinh giỏi

 Bộ sưu tập 39 đề thi Toán Lớp 11 chọn lọc dành cho học sinh giỏi - De-Thi.com
 SỞ GD & ĐT NGHỆ AN ĐỀ THI HSG LỚP 11 NĂM HỌC 2024 - 2025
 THPT PHAN THÚC TRỰC MÔN: TOÁN – PHẦN TỰ LUẬN
 Thời gian: 50 phút (không kể thời gian phát đề)
Họ và tên: .. . Số báo danh: Mã đề 135
Câu 1. (2 điểm) Giả sử anh Hưng kí hợp đồng lao động trong 10 năm với điều khoản về tiền 
lương như sau: Năm thứ nhất, tiền lương của anh Hưng là 60 triệu. Kể từ năm thứ hai trở đi, 
mỗi năm tiền lương của anh Hưng được tăng thêm 8%. Tính tổng số tiền lương anh Hưng 
lĩnh được trong 10 năm đi làm (đơn vị: triệu đồng, làm tròn đến hàng phần nghìn). 
Câu 2. (4 điểm) Bảng giá cước của một hãng taxi X được cho như bảng dưới đây:
 Quãng đường Giá cước (VNĐ/km)
 Từ 0 đến 10 km 10 000
 Từ trên 10 km đến 40 15 000
 Trênkm 40 km 12 500
a) Thiết lập công thức liên hệ giữa quãng đường di chuyển và số tiền tương ứng phải trả. Nếu 
một người đi taxi của hãng X phải trả số tiền xe là 475 000 VNĐ thì người đó đã đi quãng 
đường là bao nhiêu?
b) Một người đi taxi của hãng X từ A đến B, sau đó phải bắt taxi một lần nữa để đi từ B đến 
C. Biết quãng đường AB trong khoảng từ 10 đến 40 km, quãng đường BC dài hơn quãng 
đường AB là 32 km. Số tiền người đó phải trả ở quãng đường BC gấp 2,8 lần số tiền phải trả 
ở quãng đường AB. Tính độ dài quãng đường AB.
c) Ngày Valentine, hãng X áp dụng chương trình giảm giá 10% cho khách hàng, tối đa 50 
000 VNĐ. Một người đi taxi của hãng X trong dịp này phải trả 360 000 VNĐ thì người đó đã 
đi quãng đường là bao nhiêu?
Câu 3. (1,5 điểm) Một hộp có chứa 5 viên bi đỏ, 3 viên bi xanh và n viên bi vàng (các viên 
bi kích thước như nhau, n là số nguyên dương). Lấy ngẫu nhiên 3 viên bi từ hộp. Biết xác 
 45
suất để trong ba viên vi lấy được có đủ 3 màu là . Tính xác suất P để trong 3 viên bi lấy 
 182
được có nhiều nhất hai viên bi đỏ.
Câu 4. (3,0 điểm). Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình thoi cạnh a và góc 
 3
·ABC 60o . Các cạnh SA, SB, SC đều bằng a . 
 2
a) Gọi là góc của hai mặt phẳng (SAC) và (ABCD). Giá trị tan bằng bao nhiêu?
b) Tính thể tích khối chóp S.ABCD.
 De-Thi.com Bộ sưu tập 39 đề thi Toán Lớp 11 chọn lọc dành cho học sinh giỏi - De-Thi.com
Câu 5. (1,5 điểm) Cho tứ diện ABCD có ·ABC ·ADC B· CD 90o , BC 2a, CD a, góc giữa 
đường thẳng AB và mặt phẳng (BCD) bằng 60o . Tính khoảng cách giữa đường thẳng AC và 
BD
 ------------HẾT------------
 De-Thi.com Bộ sưu tập 39 đề thi Toán Lớp 11 chọn lọc dành cho học sinh giỏi - De-Thi.com
 ĐÁP ÁN
(PHẦN TRẮC NGHIỆM)
PHẦN I. Câu trắc nghiệm 
 Đề\câu 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12
 135 D A D D C C B B C D A C
PHẦN II. Câu trắc nghiệm đúng sai
1a 1b 1c 1d 2a 2b 2c 2d 3a 3b 3c 3d 4a 4b 4c 4d
D S D D D D S D D S D S D D S D
PHẦN III. Câu trắc nghiệm trả lời ngắn 
Câu 1: Một đội bóng đá thi đấu trong một sân vận động có sức chứa 55 000 khán giả. Với 
giá mỗi vé là 100 nghìn đồng, số khán giả trung bình là 27 000 người. Qua thăm dò dư luận, 
người ta thấy rằng mỗi khi giá vé giảm thêm 10 nghìn đồng, sẽ có thêm khoảng 3000 khán 
giả. Hỏi ban tổ chức nên đặt giá vé là bao nhiêu để doanh thu từ tiền bán vé là lớn nhất?
 Lời giải
Chọn DGọi x x 0 ) là số lần giảm giá vé. 
Khi đó giá vé sau khi giảm là 100 10x (nghìn đồng).
Sau mỗi lần giảm giá thì có thêm 3000x khán giả.
Do đó tổng số khán giả đến xem là 27000 + 3000x.
Vì sân vận động có sức chứa 55 000 khán giá nên 
27000 3000x 55000
 28
 x 
 3
Doanh thu từ tiền bán vé là:
y 27000 3000x 100 10x 30000x2 30000x 2700000
Yêu cầu bài toán trở thành tìm giá trị lớn nhất của hàm số
y 30000x2 30000x 2700000 x 0 
Tập xác định D = (0; +∞).
y ' 60000x 30000
 1
y ' 0 x 
 2
Bảng biến thiên
 De-Thi.com Bộ sưu tập 39 đề thi Toán Lớp 11 chọn lọc dành cho học sinh giỏi - De-Thi.com
Dựa vào bảng biến thiên, ta thấy ban tổ chức nên đặt giá vé là 95 nghìn đồng thì doanh thu 
tiền bán vé là lớn
Câu 2. Cho hình hộp ABCD.A B C D . Trên các cạnh AA , BB , CC lần lượt lấy ba điểm M , 
 A M 1 B N 2 C P 1
N , P sao cho , , . Biết mặt phẳng MNP cắt cạnh DD tại Q . Tính tỉ 
 AA 3 BB 3 CC 2
 D 'Q a
số . Tinh T a b
 DD ' b
 Lời giải
 A' D'
 O'
 Q
 B' M C'
 K
 P
 D
 N A
 O
 B C
 BB C C // AA D D 
Ta có MNP  BB C C NP NP // MQ .
 MNP  AA D D MQ
 AA B B // CC D D 
Tương tự: MNP  AA B B MN MN // PQ
 MNP  CC D D PQ
Suy ra mặt phẳng MNP cắt hình hộp theo thiết diện là hình bình hành MNPQ .
Gọi O, O , K lần lượt là tâm các hình bình hành ABCD, A B C D , MNPQ thì O, O , K thẳng 
hàng.
 B N D Q A M C P
Ta có B N D Q 2.O K A M C P 
 BB DD AA CC 
 2 D Q 1 1 D Q 1
 .
 3 DD 3 2 DD 6
 De-Thi.com Bộ sưu tập 39 đề thi Toán Lớp 11 chọn lọc dành cho học sinh giỏi - De-Thi.com
(PHẦN TỰ LUẬN)
Câu 1 : a) (2 điểm) Giả sử anh Hưng kí hợp đồng lao động trong 10 năm với điều khoản về 
tiền lương như sau: Năm thứ nhất, tiền lương của anh Hưng là 60 triệu. Kể từ năm thứ hai trở 
đi, mỗi năm tiền lương của anh Hưng được tăng thêm 8%. Tính tổng số tiền lương anh Hưng 
lĩnh được trong 10 năm đi làm (đơn vị : triệu đồng, làm tròn đến hàng phần nghìn).
Bài giải
a) Đặt A 60 (triệu), r 8% 0,08.
Tiền lương anh Hưng nhận được sau một năm làm việc là u1 A (triệu đồng).
Tiền lương anh hưng nhận được trong năm thứ 2 là u2 u1 r.u1 1 r u1 (triệu đồng).
Tiền lương anh Hưng nhận được trong năm thứ 3 năm là u3 u2 ru2 1 r u2 (triệu đồng).
 .
Như vậy tiền lương theo năm của anh Hưng lập thành một CSN có u1 A 60 (triệu đồng), 
công bội q 1 r 1,08 . 
Do đó tổng tiền lương anh Hưng nhận được trong 10 năm làm việc là 
 q10 1 1,0810 1 (triệu đồng).
S u 60. 869,194
 10 1 q 1 1,08 1
Câu 2. 
1. Gọi x (km) là quãng đường di chuyển. Khi đó, ta có công thức liên hệ giữa quãng đường di 
chuyển và số tiền tương ứng phải trả f(x) như sau:
 10000x 0 x 10 
f x 10000.10 x 10 .15000 10 x 40 
 10000.10 15000.30 x 40 .12500 x 40 
 10000x 0 x 10 
 f x 15000x 50000 10 x 40 
 12500x 50000 x 40 
Để xác định số tiền xe là 475 000 VNĐ mà người đi xe phải trả ứng với quãng đường di 
chuyển dài bao nhiêu, ta cần xác định công thức tương ứng.
Với f x 10000x ; 0 x 10 thì 0 f x 100000 .
Với f x 15000x 50000 , 10 x 40 thì 100000 f x 550000 .
Với f x 12500x 50000, x 40 thì f x 550000 .
Vì 100000 475000 550000 nên ứng với số tiền xe 475 000 VNĐ người đi xe đã đi được 
 475000 50000
quãng đường dài 35 km .
 15000
Vậy người đó đã đi được quãng đường dài 35km.
 De-Thi.com Bộ sưu tập 39 đề thi Toán Lớp 11 chọn lọc dành cho học sinh giỏi - De-Thi.com
2. Gọi x (km) 10 x 40 là độ dài quãng đường AB.
Vì quãng đường BC dài hơn quãng đường AB là 32km nên quãng đường BC dài x 32 km .
Vì số tiền người đó phải trả ở quãng đường BC gấp 2,8 lần số tiền phải trả ở quãng đường 
AB nên ta có phương trình
12500 x 32 50000 2,8. 15000x 50000 x 20 km (thỏa mãn).
Vậy quãng đường AB dài 20km.
3. Nếu không được giảm giá 10% thì người đi xe phải trả số tiền là:
360000 : 100% 10% 400000 (đồng)
Vì 100000 < 400000 < 550000 nên người đi xe đã đi được quãng đường là: 
400000 50000
 30 km .Vậy người đó đã đi được quang đường dài 30km.
 15000
Câu 3. Một hộp có chứa 5 viên bi đỏ, 3 viên bi xanh và n viên bi vàng ( các viên bi kích 
thước như nhau, n là số nguyên dương). Lấy ngẫu nhiên 3 viên bi từ hộp. Biết xác suất để 
 45
trong ba viên vi lấy được có đủ 3 màu là . Tính xác suất P để trong 3 viên bi lấy được 
 182
có nhiều nhất hai viên bi đỏ.
 135 177 45 31
A. P . B. P . C. P . D. P .
 364 182 182 56
 Lời giải
Chọn B
 3
Số cách lấy 3 viên bi bất kì từ hộp là: C8 n .
 1 1 1
Số cách lấy 3 viên đủ 3 màu là: C5.C3.Cn 15n .
 45 15n 45
Vì xác suất để trong ba viên vi lấy được có đủ 3 màu là 3 n 6 .
 182 C8 n 182
 có 5 viên bi đỏ, 3 viên bi xanh và 6 viên bi vàng.
 3
Số cách lấy 3 bi bất kì là C14 .
 3
Trường hợp 1: 3 bi lấy ra không có bi đỏ, khi đó số cách lấy là C9 .
 1 2
Trường hợp 2: 3 bi lấy ra có 1 bi đỏ, khi đó số cách lấy là C5 .C9
 2 1
Trường hợp 2: 3 bi lấy ra có 2 bi đỏ, khi đó số cách lấy là C5 .C9 .
 177
Vậy xác suất để trong 3 viên bi lấy được có nhiều nhất hai viên bi đỏ là P 
 182
Câu 4. 
1. Do AB BC và ·ABC 60o nên tam giác ABC đều.
Gọi H là hình chiếu của A lên (ABCD)
Do SA = SB = SC nên H là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC.
 De-Thi.com Bộ sưu tập 39 đề thi Toán Lớp 11 chọn lọc dành cho học sinh giỏi - De-Thi.com
 SAC  ABCD AC
Ta có 
 SO  AC, HO  AC
 SAC , ABCD SO, HO S·OH .
 1 1 a 3 a 3 3a2 a2 a 5
Mặt khác, HO BO . , SH SB2 BH 2 
 3 3 2 6 4 3 2 3
 SH
Xét tam giác SOH vuông tại H có tan 5 
 OH
2. Thể tích khối chóp S.ABCD là
 1 1 a 15 a3 5
V SH.S .a2 .sin60 . 
 S.ABCD 3 ABCD 3 6 12
Câu 5. 
Gọi H là hình chiếu vuông góc của A lên mặt phẳng (BCD).
 BC  AB
Do 
 BC  AH,(do AH  BCD 
 BC  ABH BC  BH 1 
 CD  AD
Tương tự 
 CD  AH, do AH  BCD 
Ta có B· CD 90o 3 
Từ (1), (2), (3) nên tứ giác là hình chữ nhật HBCD có BC HD 2a; HB DC a và 
 ·AB, BCD ·AB, BH ·ABH 60o .
 De-Thi.com Bộ sưu tập 39 đề thi Toán Lớp 11 chọn lọc dành cho học sinh giỏi - De-Thi.com
Gọi E là đỉnh của hình bình hành BDCE. Khoảng cách giữa hai đường thẳng AC và BD bằng 
 1
d AC;BD d BD, AEC d B, AEC d H, AEC 
 2
Gọi HN là đường cao tam giác HEC, HK là đường cao tam giác AHN.
 CE  HN
Ta có 
 CE  AH,(do AH  BCD )
 CE  AHN CE  HK và AN  HK nên HK  AEC 
 1 1
Vậy d AC, BD d H, ACE HK 
 2 2
 HE.BC 4a
Trong HEC có HE.BC EC.HN HN . 
 EC 5
 1 1 1 1 5 31 4 3a
Trong AHN có HK 
 HK 2 HA2 HN 2 3a2 16a2 48a2 31
 1 2 3a
Vậy d AC, BD HK 
 2 31.
 De-Thi.com Bộ sưu tập 39 đề thi Toán Lớp 11 chọn lọc dành cho học sinh giỏi - De-Thi.com
 ĐỀ SỐ 5
 SỞ GD&ĐT HẢI PHÒNG KỲ THI CHỌN HSG LỚP 11 THPT 
 TRƯỜNG THPT TIÊN LÃNG NĂM HỌC 2023-2024
 ĐỀ CHÍNH THỨC MÔN: TOÁN HỌC
 (Đề thi gồm 07 câu; 02 trang) Thời gian: 150 phút, không kể thời gian phát đề
Câu 1: (1,0 điểm) 
 x + 3 1
Cho hàm số y = có đồ thị (C ). Chứng minh rằng đường thẳng d : y = x - m luôn cắt 
 x + 2 2
đồ thị (C ) tại hai điểm A,B phân biệt. Tìm giá trị nhỏ nhất của độ dài đoạn thẳng AB .
Câu 2: (2,0 điểm)
1. Cho các số thực dươnga,b,c lớn hơn 1, đặt x = loga b + logb a,y = logb c + logc b và
 2 2 2
 z = logc a + loga c . Tính giá trị của biểu thức x + y + z - xyz .
 2. Có bao nhiêu bộ (x;y) với x,y nguyên và 1 £ x,y £ 2023 thỏa mãn:
 æ 2y ö æ2x + 1ö
 ç ÷ ç ÷
(xy + 2x + 4y + 8)log3 ç ÷£ (2x + 3y - xy - 6)log2 ç ÷?
 èçy + 2ø÷ èç x - 3 ø÷
Câu 3: (2,0 điểm) 
1. Giải phương trình: 4cos2 x (1+ sin x)+ 2 3 cosx cos2x = 1+ 2sin x .
 ì 3 2 3
 ï x + 3x + 4x + 2 = y + y
2. Giải hệ phương trình :íï .
 ï 4x + 6 x - 1 + 7 = 4x - 1 y
 îï ( )
Câu 4: (2,0 điểm) 
Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh 3a, tam giác SAB vuông tại S và 
nằm trong mặt phẳng vuông góc với mặt phẳng đáy.
1. Chứng minh rằng: SA ^ (SBC ).
2. Biết góc giữa SD và mặt phẳng (SAB) bằng 600. Tính khoảng cách từ điểm C đến (SBD) 
Câu 5: (1,0 điểm) 
Trong một hộp kín đựng 2024 tấm thẻ như nhau được đánh số từ 1 đến 2024. Lấy ngẫu nhiên 
ba tấm thẻ trong hộp. Tính xác suất để lấy được ba tấm thẻ mà ba số ghi trên ba tấm thẻ đó 
lập thành một cấp số cộng.
Câu 6: (1,0 điểm).
Trong mặt phẳng với hệ trục toạ độ Oxy cho hình vuông ABCD tâm I. Gọi M, N, J lần lượt 
là trung điểm các đoạn thẳng AI, CD, BN. Biết phương trình đường thẳng MJ là 2y – 7 = 0 
và N(5; 6). Biết đỉnh C có hoành độ lớn hơn 3. Tìm tọa độ đỉnh C của hình vuông ABCD.
Câu 7: (1,0 điểm) 
 De-Thi.com Bộ sưu tập 39 đề thi Toán Lớp 11 chọn lọc dành cho học sinh giỏi - De-Thi.com
 Cho a, b, c là các số thực dương. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức:
 3(b + c) 4a + 3c 12(b - c)
T = + + .
 2a 3b 2a + 3c
 ------------HẾT------------
 De-Thi.com